Se |f(x)-f(y)| <=|x-y|^2, para todo x, y in R, verifique que: lim x a f(x)-f(a)x-a=0.

Passo 1

O enunciado diz que a função f:RtoR satisfaz |f(x)-f(y)|<=|x-y|^2 para todo x,y, e pede para mostrar que limxto af(x)-f(a)x-a=0. Vamos usar a definição de limite e uma desigualdade direta.

Passo 2

Escolhendo y=a, a hipótese dá
|f(x)-f(a)|<=|x-a|^2
Para xne a, dividindo tudo por |x-a|>0, obtemos
|f(x)-f(a)x-a|<=|x-a|

Passo 3

Como |x-a|to0 quando xto a, pelo teorema do confronto temos
|f(x)-f(a)x-a|to0
Logo o quociente (f(x)-f(a))/(x-a) também tende a 0.

Passo 4

Portanto
limxto af(x)-f(a)x-a=0

Resposta

0

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