Seja r a reta de equação polar rho cos (theta-pi / 3)=2. Determine a equação correspondente no sistema cartesiano OXY.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma reta definida no sistema polar pela equação rho cos (theta - pi3) = 2. O objetivo aqui é transformar essa equação para o sistema cartesiano, que usamos no dia a dia com os eixos X e Y. Para isso, vamos precisar saber como relacionar as coordenadas polares (rho, theta) com as coordenadas cartesianas (x, y).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como converter de coordenadas polares para cartesianas. As fórmulas básicas são:
x = rho cos theta
y = rho sin theta
Além disso, vamos usar a fórmula da diferença de ângulos para o cosseno:
cos(theta - alpha) = cos theta cos alpha + sin theta sin alpha
No nosso caso, alpha = pi3. Vamos aplicar isso na equação dada.

Passo 3

Substituindo na equação original:
rho cos (theta - pi3) = 2
Usando a fórmula da diferença de ângulos:
rho ( cos theta cos pi3 + sin theta sin pi3 ) = 2
Agora, sabemos que cos pi3 = 12 e sin pi3 = raiz32. Vamos substituir esses valores:
rho ( cos theta cdot 12 + sin theta cdot raiz32 ) = 2

Passo 4

Agora, substituímos rho cos theta por x e rho sin theta por y:
12 x + raiz32 y = 2
Para simplificar, multiplicamos todos os termos por 2:
x + raiz3 y = 4

Resposta

A equação da reta no sistema cartesiano OXY é:
x + raiz3, y = 4

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