Considere o sistema não homogêneo
& y1^prime=3 y1+y2+t^3 & y2^prime=2 y1+2 y2+t^3
a) Encontrar uma solução particular da forma Y(t)=B0+t B1+t^2 B2+t^3 B3.
b) Encontrar uma solução do sistema com a condição y1(0)=y2(0)=1.

Passo 1

O sistema dado é
y' = A,y + g(t),
com
A=3 & 1[6pt]2 & 2, g(t)=t^3[2pt]t^3
a) Para a parte não homogênea, vamos usar o método dos coeficientes a determinar, supondo uma solução particular da forma
Yp(t)=B0+t,B1+t^2,B2+t^3,B3,
com Bkin R^2.
b) Depois, resolveremos o sistema homogêneo y'=Ay por autovalores e autovetores e aplicaremos a condição y(0)=(1,1)^top.]

Passo 2

Calculamos
e substituímos em . Isso dá
Comparando coeficientes de para , obtemos o sistema
]

Passo 3

Do termo :
isto é,
Resolvendo, achamos
]

Passo 4

Agora do termo t^2:
A,B2 = 3,B3 = 3-tfrac14-tfrac14 =-tfrac34-tfrac34,
o que dá
B2 = -tfrac316[3pt]-tfrac316
Do termo t^1:
A,B1 = 2,B2 = 2-tfrac316-tfrac316 =-tfrac38-tfrac38,
logo
B1 = -tfrac332[3pt]-tfrac332
E do termo t^0:
A,B0 = B1 = -tfrac332-tfrac332,
resultando em
B0 = -tfrac3128[3pt]-tfrac3128 ]

Passo 5

A solução particular fica
Yp(t) = -tfrac3128[3pt]-tfrac3128 +t-tfrac332[3pt]-tfrac332 +t^2-tfrac316[3pt]-tfrac316 +t^3-tfrac14[3pt]-tfrac14 ]

Passo 6

Para a parte homogênea y'=Ay, os autovalores de A são lambda1=1 e lambda2=4.
  • Para lambda1=1, resolve-se (A-I)v=0, obtendo v1=(1,-2)^top.
  • Para lambda2=4, resolve-se (A-4I)v=0, obtendo v2=(1,1)^top.
    Logo a solução geral homogênea é
Yh(t) = C1,e^t1-2 + C2,e^4t11

Passo 7

A solução completa é Y(t)=Yp(t)+Yh(t). Para Y(0)=(1,1)^top temos
Yp(0)=-tfrac3128-tfrac3128, Yh(0)=C1+C2-2C1+C2,
de modo que
11 = -tfrac3128-tfrac3128 + C1+C2-2C1+C2
Isto leva a
C1+C2 = 1+tfrac3128, -2C1+C2 = 1+tfrac3128
Subtraindo as duas equações vem 3C1=0, logo C1=0 e C2=1+tfrac3128=tfrac131128.

Resposta

a) A solução particular é
Yp(t) = -tfrac3128-tfrac332t-tfrac316t^2-tfrac14t^3[4pt] -tfrac3128-tfrac332t-tfrac316t^2-tfrac14t^3
b) A solução que satisfaz y1(0)=y2(0)=1 é
Y(t) = Yp(t) +131128,e^4t11 ]

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