Considere o sistema não homogêneo
a) Encontrar uma solução particular da forma
.
b) Encontrar uma solução do sistema com a condição
.
b) Encontrar uma solução do sistema com a condição
Passo 1
O sistema dado é
com
a) Para a parte não homogênea, vamos usar o método dos coeficientes a determinar, supondo uma solução particular da forma
com
.
b) Depois, resolveremos o sistema homogêneo por autovalores e autovetores e aplicaremos a condição
.]
b) Depois, resolveremos o sistema homogêneo
Passo 2
Calculamos
e substituímos em
. Isso dá
Comparando coeficientes de
para
, obtemos o sistema
Passo 3
Do termo
:
isto é,
Resolvendo, achamos
Passo 4
Agora do termo
t^2 :
o que dá
Do termo
t^1 :
logo
E do termo
t^0 :
resultando em
Passo 5
A solução particular fica
Passo 6
Para a parte homogênea
y'=Ay , os autovalores de
A são
lambda1=1 e
lambda2=4 .
- Para
, resolve-selambda1=1 , obtendo(A-I)v=0 .v1=(1,-2)^top - Para
, resolve-selambda2=4 , obtendo(A-4I)v=0 .v2=(1,1)^top
Logo a solução geral homogênea é
Passo 7
A solução completa é
Y(t)=Yp(t)+Yh(t) . Para
Y(0)=(1,1)^top temos
de modo que
Isto leva a
Subtraindo as duas equações vem
3C1=0 , logo
C1=0 e
C2=1+tfrac3128=tfrac131128 .
Resposta
a) A solução particular é
b) A solução que satisfaz
y1(0)=y2(0)=1 é