Sejam A uma matriz constante n times n, B e C vetores constantes n-dimensionais, e seja alpha um escalar dado.
a) Demonstrar que o sistema não homogêneo Z^prime(t)=A Z(t)+e^alpha t C tem uma solução da forma Z(t)=e^alpha t B se, e só se, (alpha I-A) B=C.
b) Se alpha não é um autovalor de A, demonstrar que o vetor B sempre pode ser escolhido de modo que o sistema da parte a) tenha uma solução da forma Z(t)=e^alpha t B.
c) Se alpha não é um autovalor de A, demonstrar que toda solução do sistema Y^prime(t)=A Y(t)+e^alpha t C tem a forma Y(t)=e^t A(Y(0)-B)+e^alpha t B, donde B=(alpha I-A)^-1 C.

Passo 1

O enunciado trata de um sistema linear não homogêneo em com coeficientes constantes:
onde , e . O objetivo é (a) encontrar condições para que exista uma solução do tipo , (b) ver que, se não é autovalor de , podemos resolver essas condições para , e (c) obter a forma geral de toda solução usando a solução particular achada em (b).

Passo 2

Parte (a). Suponha que exista uma solução do tipo
Então
Por outro lado, a RHS do sistema é
Igualando à RHS e factorizando obtemos
Esse cálculo vale no sentido “se e só se”: se , então o chute resolve o sistema, e vice-versa.

Passo 3

Parte (b). Se alpha não é autovalor de A, então a matriz alpha I - A é invertível. Logo a equação
(alpha I - A),B = C
tem única solução
B = (alpha I - A)^-1,C
Assim, para esse B a função Z(t)=e^alpha tB é de fato uma solução particular do sistema.

Passo 4

Parte (c). A forma geral da solução de
Y'(t)=A,Y(t)+e^alpha tC
é dada por variação de constantes:
Y(t)=e^tAY(0)+integral0^t e^(t-s)A,e^alpha sC,ds
Como C é constante, fazemos
integral0^t e^(t-s)Ae^alpha sC,ds = e^tAintegral0^t e^-sAe^alpha sC,ds = e^tAintegral0^t e^s(alpha I - A)C,ds
Usando alpha I - A invertível, temos
integral0^t e^s(alpha I - A),ds = (alpha I - A)^-1l(e^t(alpha I - A) - Ir)
Logo, com B=(alpha I-A)^-1C,
integral0^t e^(t-s)Ae^alpha sC,ds = e^tAl(e^t(alpha I - A) - Ir)B = e^alpha tB - e^tAB
Substituindo em Y(t)
Y(t) = e^tAY(0) + l(e^alpha tB - e^tABr) = e^tAl(Y(0)-Br) + e^alpha tB

Resposta

(a) A condição para Z(t)=e^alpha tB ser solução é (alpha I-A)B=C.
(b) Se alpha não é autovalor de A, então B=(alpha I-A)^-1C.
(c) Para esse B, toda solução de Y'(t)=A,Y(t)+e^alpha tC é
Y(t)=e^tAl(Y(0)-Br)+e^alpha tB,
com B=(alpha I-A)^-1C.

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