Sejam
uma matriz constante
e
vetores constantes n-dimensionais, e seja
um escalar dado.
a) Demonstrar que o sistema não homogêneo
tem uma solução da forma
se, e só se,
.
b) Se
não é um autovalor de
, demonstrar que o vetor
sempre pode ser escolhido de modo que o sistema da parte a) tenha uma solução da forma
.
c) Se
não é um autovalor de
, demonstrar que toda solução do sistema
tem a forma
, donde
.
a) Demonstrar que o sistema não homogêneo
b) Se
c) Se
Passo 1
O enunciado trata de um sistema linear não homogêneo em com coeficientes constantes:
onde , e . O objetivo é (a) encontrar condições para que exista uma solução do tipo
, (b) ver que, se
não é autovalor de
, podemos resolver essas condições para
, e (c) obter a forma geral de toda solução usando a solução particular achada em (b).
Passo 2
Parte (a). Suponha que exista uma solução do tipo
Então
Por outro lado, a RHS do sistema é
Igualando
à RHS e factorizando
obtemos
Esse cálculo vale no sentido “se e só se”: se
, então o chute
resolve o sistema, e vice-versa.
Passo 3
Parte (b). Se
não é autovalor de
, então a matriz
é invertível. Logo a equação
tem única solução
Assim, para esse
a função
é de fato uma solução particular do sistema.
Passo 4
Parte (c). A forma geral da solução de
é dada por variação de constantes:
Como
é constante, fazemos
Usando
invertível, temos
Logo, com
,
Substituindo em
dá
Resposta
(a) A condição para
ser solução é
.
(b) Se não é autovalor de
, então
.
(c) Para esse , toda solução de
é
(b) Se
(c) Para esse
com
.