Q 112 Derive cada uma das funções abaixo:
f(x)=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=raizx-1x+1
Aqui vamos usar a regra da cadeia combinada com a regra do quociente para encontrar f'(x).

Passo 2

Primeiro, escrevemos
f(x)=l(x-1x+1r)^12
Pela regra da cadeia,
f'(x) =12l(x-1x+1r)^-12;cdot;ddx!l(x-1x+1r)

Passo 3

Agora calculamos a derivada do quociente
ddx!l(x-1x+1r) =(1),(x+1)-(x-1),(1)(x+1)^2 =x+1-x+1(x+1)^2 =2(x+1)^2

Passo 4

Substituindo esse resultado em f'(x), obtemos
f'(x) =12l(x-1x+1r)^-12cdot2(x+1)^2 =l(x-1x+1r)^-12(x+1)^2
Para simplificar, note que
l(tfracx-1x+1r)^-12 =raizx+1x-1,
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f'(x) =1(x+1)^2,raizx+1x-1 =1(x+1)raiz(x-1)(x+1)

Resposta

f'(x)=1(x+1)raiz(x-1)(x+1)

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