A supercondutividade foi originalmente observada em metais, quando alguns metais são resfriados a baixas temperaturas T e campo magnético B. Os calores específicos destas duas fases, no limite de campo magnético nulo, são
Cs(T)=V alpha T^3 & fase supercondutora Cn(T)=V[beta T^3+gamma T] & fase normal
A temperatura nula, os elétrons no supercondutor formam pares de Cooper ligados. Isto diminui a energia interna em V De, ou seja, En(T=0)=E0 e Es(T=0)=E0-E De para o metal e o supercondutor. Calcule a energia interna de ambas as fases no limite T infty.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre supercondutividade! A gente tem que calcular a energia interna das fases supercondutora e normal quando a temperatura tá indo para o infinito. Para isso, vamos usar o conceito de calor específico e como ele se relaciona com a energia interna. Vamos precisar entender como integrar as expressões do calor específico dadas para cada fase.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia interna $ E(T) $ de um sistema pode ser encontrada integrando o calor específico $ C(T) $ em relação à temperatura, somado à energia interna no zero absoluto $ E(T=0) $. A fórmula geral é:
E(T)
Vamos aplicar isso para as duas fases: supercondutora e normal.

Passo 3

Vamos calcular a energia interna para a fase supercondutora. Sabemos que no zero absoluto, a energia interna é:
Es(T=0) = E0 - V De
E o calor específico é:
Cs(T) = V alpha T^3
Então, a energia interna para a fase supercondutora é:
Es(T) = E0 - V De

Passo 4

Agora, vamos integrar o calor específico da fase supercondutora:
integral0^T V alpha T'^3 , dT' = V alpha [ T'^44 ]0^T = V alpha T^44
Então, a energia interna da fase supercondutora fica:
Es(T) = E0 - V De

Passo 5

Vamos fazer o mesmo para a fase normal. No zero absoluto, a energia interna é:
En(T=0) = E0
E o calor específico é:
Cn(T) = V [ beta T^3 + gamma T ]
A energia interna para a fase normal é então:
En(T) = E0 + integral0^T V [ beta T'^3 + gamma T' ] , dT'

Passo 6

Vamos integrar o calor específico da fase normal:
integral0^T V [ beta T'^3 + gamma T' ] , dT' = V [ beta T^44 + gamma T^22 ]
Então, a energia interna da fase normal fica:
En(T) = E0 + V beta T^44 + V gamma T^22

Passo 7

Agora, vamos analisar o limite quando $ T $ tende para o infinito. Observamos que os termos com $ T^{4} $ dominam:
T
T^4
Isso significa que, conforme a temperatura aumenta muito, a energia interna de ambas as fases também tende ao infinito.

Resposta

No limite $ T \rightarrow \infty $, a energia interna das fases é:
T infty
Es(T to infty) = E0 - V De

Exercícios relacionados