A supercondutividade foi originalmente observada em metais, quando alguns metais são resfriados a baixas temperaturas
e campo magnético
. Os calores específicos destas duas fases, no limite de campo magnético nulo, são
A temperatura nula, os elétrons no supercondutor formam pares de Cooper ligados. Isto diminui a energia interna em
, ou seja,
e
para o metal e o supercondutor. Calcule a energia interna de ambas as fases no limite
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre supercondutividade! A gente tem que calcular a energia interna das fases supercondutora e normal quando a temperatura tá indo para o infinito. Para isso, vamos usar o conceito de calor específico e como ele se relaciona com a energia interna. Vamos precisar entender como integrar as expressões do calor específico dadas para cada fase.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia interna $ E(T) $ de um sistema pode ser encontrada integrando o calor específico $ C(T) $ em relação à temperatura, somado à energia interna no zero absoluto $ E(T=0) $. A fórmula geral é:
Vamos aplicar isso para as duas fases: supercondutora e normal.
Passo 3
Vamos calcular a energia interna para a fase supercondutora. Sabemos que no zero absoluto, a energia interna é:
E o calor específico é:
Então, a energia interna para a fase supercondutora é:
Passo 4
Agora, vamos integrar o calor específico da fase supercondutora:
Então, a energia interna da fase supercondutora fica:
Passo 5
Vamos fazer o mesmo para a fase normal. No zero absoluto, a energia interna é:
E o calor específico é:
A energia interna para a fase normal é então:
Passo 6
Vamos integrar o calor específico da fase normal:
Então, a energia interna da fase normal fica:
Passo 7
Agora, vamos analisar o limite quando $ T $ tende para o infinito. Observamos que os termos com $ T^{4} $ dominam:
Isso significa que, conforme a temperatura aumenta muito, a energia interna de ambas as fases também tende ao infinito.
Resposta
No limite $ T \rightarrow \infty $, a energia interna das fases é: