Experimentos indicam que, para um range finito de temperaturas, um deslocamento x em um filamento requer uma força
J=a x-b T+c T x
onde a, b, e c são constantes. Ainda, sua capacidade calorífica a deslocamento constante é proporcional a T, ou seja, Cx=A(x) T. Obtenha a expressão pra S(T, x). Assuma que S0=S(0,0).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem um filamento que, quando submetido a um deslocamento $ x $ e a uma temperatura $ T $, precisa de uma força que é dada por:
x
Aqui, $ a $, $ b $ e $ c $ são constantes. Além disso, a capacidade calorífica a deslocamento constante é proporcional à temperatura:
T
O que precisamos encontrar é a expressão da entropia $ S(T, x) $, sabendo que $ S_0 = S(0, 0) $.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, especificamente as relações termodinâmicas que conectam energia, entropia, temperatura e trabalho. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a entropia $ S $ pode ser obtida a partir da capacidade calorífica. A relação geral que liga a capacidade calorífica e a entropia é:
S
Aqui, o subíndice $ x $ indica que estamos mantendo $ x $ constante durante a derivação.
Sabemos que $ C_x = A(x) T $, então substituindo na equação acima:
( partial Spartial T )x = CxT
Isso simplifica nossa equação para:
x

Passo 3

Agora, para encontrar $ S(T, x) $, precisamos integrar a equação acima em relação a $ T $. Vamos integrar de 0 até $ T $:
S(T, x)
Como $ A(x) $ é uma função de $ x $ e não de $ T $, a integral fica:
T

Passo 4

Agora, precisamos considerar como $ S(0, x) $ varia com $ x $. Para isso, vamos usar a relação que envolve a força $ J $. Em termodinâmica, temos que:
S(0, x)
Isso significa que a variação da entropia em relação a $ x $ a temperatura constante é dada pela força dividida pela temperatura.
Substituindo a expressão de $ J $:
x

Passo 5

Para encontrar $ S(0, x) $, vamos considerar a condição de temperatura $ T = 0 $. Nesse caso, da expressão acima:
S(0, x)
No entanto, o termo $ \frac{x}{0} $ sugere uma indeterminação. Para contornar isso, assumimos que, quando $ T = 0 $, a força $ J $ depende apenas de $ x $, então:
T = 0
Integrando isso em relação a $ x $:
partial Spartial x = a x0 - b + c x
x0

Passo 6

Agora, voltando à expressão geral de $ S(T, x) $:
S(T, x)
Substituindo $ S(0, x) $ que encontramos:
S(T, x) = S(0, x) + A(x) T

Resposta

A expressão da entropia $ S(T, x) $ é:
S(T, x)

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