Experimentos indicam que, para um range finito de temperaturas, um deslocamento
em um filamento requer uma força
onde
, e
são constantes. Ainda, sua capacidade calorífica a deslocamento constante é proporcional a
, ou seja,
. Obtenha a expressão pra
. Assuma que
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem um filamento que, quando submetido a um deslocamento $ x $ e a uma temperatura $ T $, precisa de uma força que é dada por:
Aqui, $ a $, $ b $ e $ c $ são constantes. Além disso, a capacidade calorífica a deslocamento constante é proporcional à temperatura:
O que precisamos encontrar é a expressão da entropia $ S(T, x) $, sabendo que $ S_0 = S(0, 0) $.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, especificamente as relações termodinâmicas que conectam energia, entropia, temperatura e trabalho. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a entropia $ S $ pode ser obtida a partir da capacidade calorífica. A relação geral que liga a capacidade calorífica e a entropia é:
Aqui, o subíndice $ x $ indica que estamos mantendo $ x $ constante durante a derivação.
Sabemos que $ C_x = A(x) T $, então substituindo na equação acima:
Isso simplifica nossa equação para:
Passo 3
Agora, para encontrar $ S(T, x) $, precisamos integrar a equação acima em relação a $ T $. Vamos integrar de 0 até $ T $:
Como $ A(x) $ é uma função de $ x $ e não de $ T $, a integral fica:
Passo 4
Agora, precisamos considerar como $ S(0, x) $ varia com $ x $. Para isso, vamos usar a relação que envolve a força $ J $. Em termodinâmica, temos que:
Isso significa que a variação da entropia em relação a $ x $ a temperatura constante é dada pela força dividida pela temperatura.
Substituindo a expressão de $ J $:
Passo 5
Para encontrar $ S(0, x) $, vamos considerar a condição de temperatura $ T = 0 $. Nesse caso, da expressão acima:
No entanto, o termo $ \frac{x}{0} $ sugere uma indeterminação. Para contornar isso, assumimos que, quando $ T = 0 $, a força $ J $ depende apenas de $ x $, então:
Integrando isso em relação a $ x $:
Passo 6
Agora, voltando à expressão geral de $ S(T, x) $:
Substituindo $ S(0, x) $ que encontramos:
Resposta
A expressão da entropia $ S(T, x) $ é: