Considere um sistema com
osciladores harmônicos simples unidimensionais nãointeragentes na descrição quântica (que corresponde ao modelo de Einstein para as vibrações de rede em um sólido). A função de partição individual de cada oscilador é dada por
. (a) Qual é a função de partição do sistema com
osciladores? (b) Obtenha a função de grão-partição do sistema. (c) Obtenha as equações de estado no ensemble grão-canônico (explicitamente em função das variáveis pertinentes). (d) Encontre uma expressão para a energia média por oscilador em função da temperatura. (e) A partir dos resultados obtidos nos itens anteriores, como podemos obter os resultados previstos na descrição clássica? Explique.
Passo 1
O enunciado dá a função de partição individual de um oscilador quântico como
. Peço atenção: aqui
é o mesmo que
. As perguntas são:
(a) qual a função de partição do sistema com osciladores não-interagentes?
(b) qual a função de grão-partição do sistema?
(c) obter as equações de estado no ensemble grão-canônico (expressas nas variáveis relevantes: ou
).
(d) encontrar a energia média por oscilador em função da temperatura.
(e) mostrar como recuperar os resultados clássicos a partir dos resultados quânticos obtidos.
(a) qual a função de partição do sistema com
(b) qual a função de grão-partição
(c) obter as equações de estado no ensemble grão-canônico (expressas nas variáveis relevantes:
(d) encontrar a energia média por oscilador em função da temperatura.
(e) mostrar como recuperar os resultados clássicos a partir dos resultados quânticos obtidos.
Informações relevantes dadas pelo enunciado e que usaremos:
- função de partição individual
. - a definição grão-canônica fornecida:
, com e . - relações termodinâmicas fornecidas:
, , , , (com relacionado a ).
A partir daqui eu vou desenvolver passo a passo as contas necessárias.
Passo 2
Função de partição do sistema com
osciladores (parte (a)).
Raciocínio didático: quando temos sistemas não-interagentes e idênticos, a energia total é soma das energias individuais, e a soma exponencial fatoriza. Por isso a função de partição canônica do conjunto é o produto das funções de partição individuais. Se cada oscilador tem partição , então a partição do sistema com exatamente
osciladores é o produto de
fatores idênticos. Portanto
Raciocínio didático: quando temos sistemas não-interagentes e idênticos, a energia total é soma das energias individuais, e a soma exponencial fatoriza. Por isso a função de partição canônica do conjunto é o produto das funções de partição individuais. Se cada oscilador tem partição
Aqui
é a função de partição canônica do sistema contendo exatamente
osciladores;
é a dada no enunciado.
Passo 3
Função grão-partição
(parte (b)).
Usamos a definição grão-canônica fornecida:
Usamos a definição grão-canônica fornecida:
Substituindo
obtemos uma série geométrica:
Essa soma converge quando
e o somatório da série geométrica é
Também definimos o potencial
, então
Passo 4
Número médio de osciladores
no grão-canônico (parte de (c)).
Usamos a fórmula fornecida:
Usamos a fórmula fornecida:
Com
temos
Multiplicando por
,
Interpretação:
cresce quando
se aproxima de 1; esta fórmula é direta resultado da soma geométrica da grão-partição.
Passo 5
Energia média do sistema
e energia média por oscilador (parte (d) e parte de (c)).
Usamos a fórmula dada para energia média:
Usamos a fórmula dada para energia média:
onde
. Como
(escrevendo
como função de
), derivamos em relação a
mantendo
fixo:
portanto
Agora precisamos de
. Coloque
explicitamente usando
:
Derivando:
É útil escrever
em termos de
e a função
. Observe que
Substituindo em
:
Mas lembrando
, concluímos
Logo a energia média por oscilador é
Explicação didática:
é a função hiperbólica cotangente; para baixo vamos usar sua expansão para conectar com o limite clássico.
Passo 6
Outras equações de estado grão-canônicas (completar parte (c):
etc.).
Já temos . Usando as relações fornecidas no enunciado, escrevemos explicitamente:
Já temos
- Pressão:
Observação: para um sistema de osciladores localizados a no volume, a pressão física pode não ser relevante; aqui a relação foi dada formalmente pelo enunciado e vale matematicamente.
- Entropia: a fórmula dada é
. Usando e (pois implica , e a notação do enunciado relaciona e ), temos
Substituindo
se quiser escrever em
:
mas normalmente mantemos a expressão compacta com
.
- Energia média já dada:
- Função de Helmholtz no grão-canônico (a fórmula dada é
). Usando e resulta
Essas expressões completam as equações de estado pedidas, expressas em termos de
(e de
conhecida).
Passo 7
Limite clássico e como recuperar a descrição clássica (parte (e)).
Queremos entender o limite em que os resultados quânticos dão lugar ao resultado clássico de equipartição. O parâmetro adimensional que controla a transição é
Queremos entender o limite em que os resultados quânticos dão lugar ao resultado clássico de equipartição. O parâmetro adimensional que controla a transição é
O limite clássico corresponde a
, isto é
. Use a expansão da função hiperbólica cotangente para pequenos argumentos:
Aplicando isso à energia por oscilador obtida em Passo 5,
Como
, no limite clássico obtemos
que é exatamente o resultado de equipartição para um oscilador harmônico unidimensional (energia média
por oscilador:
cinética +
potencial). Portanto a descrição clássica é recuperada tomando
nas expressões quânticas.
Comentário didático adicional: para as outras grandezas, tomar
nas expressões de
e das funções derivadas também leva às formas clássicas (por exemplo a partição individual aproxima
; se a formulação inicial da
estivesse com argumento
a recuperação do fator clássico padrão
viria exatamente; a ideia geral permanece: no limite
as quantizações energéticas se tornam irrelevantes e surge o comportamento clássico).
Resposta
(a)
(b) com
(c) \n
\n
\n
(d)
(e) No limite clássico (isto é
) temos
, portanto
: recupera-se a equipartição clássica.
(b)
(c)
(d)
(e) No limite clássico