Uma amostra de n=500\) pessoas de uma cidade é escolhida, e a cada pessoa da amostra é feita uma pergunta a respeito de um problema municipal, para o qual foi apresentada uma solução pela prefeitura. A resposta à pergunta poderá ser SIM (favorável à solução) ou NÃO (contrária à solução). Deseja-se estimar a proporção de pessoas na cidade favoráveis à solução apresentada. Definamos as v.a. \(X_{1}, \ldots, X_{n}\), tais que
\[X_{i}= \begin{cases}1, & \text { se, a i-ésima pessoa na amostra responder SIM } \\\\ 0, & \text { se, a i-ésima pessoa na amostra responder NÃO }\end{cases}
e seja p=P\] (proporção de pessoas na população favoráveis) e \({ }^{\prime} \hat{p}=\frac{Y_{n}}{n}=\frac{\sum_{i=1} X_{i}}{n} um possivel estimador de p. O estimador tem as boas propriedades esperadas ?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma avaliação do estimador:
Tamanho da amostra: n=500\).
- Variáveis aleatórias independentes \(\,X_{1},\ldots,X_{n}\,\) definidas por
\[X_{i}=\begin{cases}1, & \text{se a \(i-ésima pessoa responder SIM}\[4pt] 0, & se a i-ésima pessoa responder NÃO\end{cases}]
A proporção verdadeira na população é p=P(\text{responder SIM}).
O que o enunciado pede: “O estimador tem as boas propriedades esperadas?” — isto é, devemos verificar propriedades como viés, variância, consistência, distribuição assintótica e eficiência do estimador \hat{p}.]
Passo 2
Verificar o viés (esperança) de \hat{p}.
Primeiro note que cada X_{i} é uma v.a. Bernoulli(p), então
\mathbb{E}(X_{i})=p.
Usando linearidade da esperança,
\mathbb{E}(\hat{p})=\mathbb{E}\Big(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}\Big)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\mathbb{E}(X_{i})=\frac{1}{n}\cdot n p=p.
Conclusão: \hat{p} é não-viesado (unbiased): sua esperança é exatamente p. Isso quer dizer que, em média, \hat{p} acerta o valor verdadeiro p — ótima notícia!
Passo 3
Calcular a variância de \hat{p}.
Para Bernoulli(p) temos
\operatorname{Var}(X_{i})=p(1-p).
Como os X_{i} são (assumidos) independentes, a variância da soma é soma das variâncias:
Comentário adicional (mais forte): pela Lei Forte dos Grandes Números, \hat{p} converge quase certamente para p quando n\to\infty. Então está tudo muito bem quanto à consistência.
Passo 6
Assintoticidade (distribuição limite) — Teorema do Limite Central.
\hat{p}\\ \approx\\ N\Big(p,\\ \frac{p(1-p)}{n}\Big)\quad\text{(aproximação para \(n\) grande).}çã
Isso permite construir intervalos de confiança aproximados e fazer testes usando a aproximação normal. Para aplicar na prova, basta lembrar de substituir p por \hat{p} no cálculo prático do erro padrão quando p é desconhecido.
Passo 7
Eficiência e propriedade ótima (UMVUE / atinge limite de Cramér–Rao).
Podemos mostrar rapidamente que \hat{p} atinge o limite inferior de Cramér–Rao para variância de estimadores não-viesados neste modelo:
Como \operatorname{Var}(\hat{p})=\frac{p(1-p)}{n}, o estimador \hat{p} atinge o limite — é eficiente.
Além disso, \sum X_{i} é estatística suficiente e completa para p no modelo Bernoulli; pela teoria de Lehmann–Scheffé, qualquer estimador não-viesado baseado nessa estatística é o UMVUE. Portanto \hat{p} é o estimador não-viesado com variância mínima (MVUE/UMVUE).
Passo 8
Resumo intuitivo e incentivo
Em palavras simples: \hat{p} é exatamente o que queremos — sem viés, com variância que cai como 1/n, consistente (vai para p quando aumentamos a amostra), com distribuição aproximada normal para n grande, e ainda por cima é eficiente (não existe estimador não-viesado com variância menor).
Para a sua prova: memorize os pontos-chave e as fórmulas principais:\mathbb{E}(\hat{p})=p,\qquad \operatorname{Var}(\hat{p})=\frac{p(1-p)}{n},\qquad \sqrt{n}(\hat{p}-p)\xrightarrow{d}N(0,p(1-p)).
Força aí — esse é um dos estimadores mais bonitos e simples que existem. Você consegue!
Resposta
Sim. \hat{p} é não-viesado: \mathbb{E}(\hat{p})=p. \operatorname{Var}(\hat{p})=\dfrac{p(1-p)}{n}. \operatorname{MSE}(\hat{p})=\dfrac{p(1-p)}{n}.
Consistente: \hat{p}\xrightarrow{P}p (e \hat{p}\xrightarrow{a.s.}p pela Lei Forte).
Assintoticamente normal: \sqrt{n}(\hat{p}-p)\xrightarrow{d}N(0,p(1-p)).
Eficiente/UMVUE: atinge o limite de Cramér–Rao e é o estimador não-viesado de variância mínima.