Considere um sistema de partículas sujeitas a um processo de difusão com um coeficiente de difusão
. A posição inicial das partículas é
. Determine: A probabilidade de encontrar uma partícula entre
e
após
.
b - A variância da posição das partículas após
.
b - A variância da posição das partículas após
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema envolve um sistema de partículas que estão se movendo por difusão, com um coeficiente de difusão $ D = 0,02 , \mathrm{m}^2/\mathrm{s} $. As partículas começam na posição inicial $ x = 0 $. Precisamos calcular:
a) A probabilidade de encontrar uma partícula entre $ x = 4 , \mathrm{m} $ e $ x = 5 , \mathrm{m} $ após $ t = 200 , \mathrm{s} $.
b) A variância da posição das partículas após $ t = 200 , \mathrm{s} $.
Vamos usar conceitos de difusão e distribuição normal para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a difusão funciona. Em processos de difusão, a posição das partículas segue uma distribuição normal (também conhecida como distribuição gaussiana). A média dessa distribuição é a posição inicial, que no nosso caso é $ \mu = 0 $. A variância $ \sigma^2 $ da distribuição relacionada ao tempo e ao coeficiente de difusão é dada por:
Passo 3
Vamos calcular a variância usando os valores fornecidos:
Isso significa que a dispersão das partículas está concentrada em torno da posição média com essa variância.
Passo 4
Agora, para encontrar a probabilidade de uma partícula estar entre $ x = 4 , \mathrm{m} $ e $ x = 5 , \mathrm{m} $, vamos usar a função densidade da distribuição normal:
Substituindo $ \mu = 0 $ e $ \sigma^2 = 8 $:
Passo 5
Para resolver essa integral, podemos usar a função erro ($ erf $), que está relacionada com a distribuição normal. A probabilidade fica:
Simplificando as frações dentro da função erro:
Passo 6
Consultando uma tabela de valores da função erro ou usando uma calculadora, encontramos:
Substituindo esses valores na equação:
Passo 7
Agora, para a parte b, vamos calcular a variância da posição das partículas após $ t = 200 , \mathrm{s} $. Já calculamos anteriormente que:
A variância nos dá uma medida de quão espalhadas estão as posições das partículas em relação à média.
Resposta
a) A probabilidade de encontrar uma partícula entre $ x = 4 , \mathrm{m} $ e $ x = 5 , \mathrm{m} $ após $ t = 200 , \mathrm{s} $ é aproximadamente 5,6%.
b) A variância da posição das partículas após $ t = 200 , \mathrm{s} $ é 8 m².