Considere um sistema de partículas sujeitas a um processo de difusão com um coeficiente de difusão D=0,02 m^2 / s. A posição inicial das partículas é x=0. Determine: A probabilidade de encontrar uma partícula entre x=4 m e x=5 m após t=200 s.
b - A variância da posição das partículas após t=200 s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema envolve um sistema de partículas que estão se movendo por difusão, com um coeficiente de difusão $ D = 0,02 , \mathrm{m}^2/\mathrm{s} $. As partículas começam na posição inicial $ x = 0 $. Precisamos calcular:
a) A probabilidade de encontrar uma partícula entre $ x = 4 , \mathrm{m} $ e $ x = 5 , \mathrm{m} $ após $ t = 200 , \mathrm{s} $.
b) A variância da posição das partículas após $ t = 200 , \mathrm{s} $.
Vamos usar conceitos de difusão e distribuição normal para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a difusão funciona. Em processos de difusão, a posição das partículas segue uma distribuição normal (também conhecida como distribuição gaussiana). A média dessa distribuição é a posição inicial, que no nosso caso é $ \mu = 0 $. A variância $ \sigma^2 $ da distribuição relacionada ao tempo e ao coeficiente de difusão é dada por:
mu = 0

Passo 3

Vamos calcular a variância usando os valores fornecidos:
sigma^2 = 2 times 0,02 , m^2/s times 200 , s = 8 , m^2
Isso significa que a dispersão das partículas está concentrada em torno da posição média com essa variância.

Passo 4

Agora, para encontrar a probabilidade de uma partícula estar entre $ x = 4 , \mathrm{m} $ e $ x = 5 , \mathrm{m} $, vamos usar a função densidade da distribuição normal:
x = 4 , m
Substituindo $ \mu = 0 $ e $ \sigma^2 = 8 $:
x = 5 , m

Passo 5

Para resolver essa integral, podemos usar a função erro ($ erf $), que está relacionada com a distribuição normal. A probabilidade fica:
erf
Simplificando as frações dentro da função erro:
P(4 <= x <= 5) = 12 [ erf(5raiz16) - erf(4raiz16) ]

Passo 6

Consultando uma tabela de valores da função erro ou usando uma calculadora, encontramos:
erf(54) approx 0,9545 e erf(1) approx 0,8427
Substituindo esses valores na equação:
P(4 <= x <= 5) = 12 (0,9545 - 0,8427) = 12 times 0,1118 approx 0,056

Passo 7

Agora, para a parte b, vamos calcular a variância da posição das partículas após $ t = 200 , \mathrm{s} $. Já calculamos anteriormente que:
t = 200 , s
A variância nos dá uma medida de quão espalhadas estão as posições das partículas em relação à média.

Resposta

a) A probabilidade de encontrar uma partícula entre $ x = 4 , \mathrm{m} $ e $ x = 5 , \mathrm{m} $ após $ t = 200 , \mathrm{s} $ é aproximadamente 5,6%.
b) A variância da posição das partículas após $ t = 200 , \mathrm{s} $ é 8 m².

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