Uma urna contém bolas vermelhas e azuis em igual quantidade. Se extraímos 80 bolas, cada uma com probabilidade
de ser vermelha, qual é o desvio padrão do número de bolas vermelhas retiradas?
28 - Considere um sistema onde a probabilidade de sucesso em um evento é
. Se o evento é repetido
vezes, utilize a aproximação gaussiana para calcular a probabilidade de obter exatamente 70 sucessos.
28 - Considere um sistema onde a probabilidade de sucesso em um evento é
Passo 1
Então, galera! Vamos ver qual é a parada aqui. A questão fala sobre um sistema onde a chance de sucesso em um evento é $ p = 0,7 $. A gente vai repetir esse evento $ N = 100 $ vezes e quer saber qual é a probabilidade de ter exatamente 70 sucessos. Para resolver isso, vamos usar a aproximação gaussiana, que é uma forma de simplificar cálculos quando lidamos com muitas repetições de um evento, tipo esse 100 vezes aí.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender um pouco sobre a distribuição binomial, que é o cenário ideal para esse tipo de problema. A distribuição binomial nos dá a probabilidade de ter exatamente $ k $ sucessos em $ N $ tentativas, com cada tentativa tendo uma probabilidade $ p $ de sucesso. A fórmula é:
Mas calcular isso diretamente para $ N = 100 $ pode ser trabalhoso. É aí que entra a aproximação gaussiana ou aproximação normal, que simplifica esse cálculo quando $ N $ é grande.
Passo 3
Para usar a aproximação normal, primeiro precisamos encontrar a média ($ \mu
\sigma $) da distribuição binomial. As fórmulas são:
Vamos calcular:
Passo 4
Agora, para calcular a probabilidade de exatamente 70 sucessos usando a distribuição normal, precisamos aplicar a correção de continuidade. Isso porque a distribuição binomial é discreta e a normal é contínua. A correção de continuidade ajusta o intervalo para incluir todo o ponto $ X = 70 $.
Então, em vez de calcular $ P(X = 70) $, vamos calcular $ P(69,5 < X < 70,5) $.
Passo 5
Em seguida, vamos padronizar esses valores para a distribuição normal padrão (que tem média 0 e desvio padrão 1) usando a fórmula:
Calculando para $ X = 69,5 $ e $ X = 70,5 $:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar a probabilidade de $ Z $ estar entre $ -0,109 $ e $ 0,109 $ na tabela da distribuição normal padrão.
Consultando a tabela ou usando uma calculadora:
Sabendo que $ P(Z < 0,109) \approx 0,5436 $:
Passo 7
Portanto, a probabilidade de obter exatamente 70 sucessos em 100 tentativas, usando a aproximação gaussiana, é aproximadamente 8,72%.
Resposta
A probabilidade de obter exatamente 70 sucessos em 100 tentativas é aproximadamente 8,72%.