Considere um sistema onde a probabilidade de sucesso em um evento é
. Se o evento é repetido
vezes, utilize a aproximação gaussiana para calcular a probabilidade de obter exatamente 70 sucessos.
29 - Em um processo de produção, a probabilidade de um item ser defeituoso é
. Se 500 itens são produzidos, use a aproximação normal para estimar a probabilidade de obter entre 10 e 20 itens defeituosos.
29 - Em um processo de produção, a probabilidade de um item ser defeituoso é
Passo 1
Beleza, vamos resolver o primeiro exercício juntos! O problema diz que a probabilidade de sucesso em cada tentativa é
e que vamos repetir o evento
vezes. Queremos encontrar a probabilidade de obter exatamente 70 sucessos usando a aproximação gaussiana (também conhecida como aproximação normal).
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos:
- Distribuição Binomial: Modela o número de sucessos em
tentativas independentes, cada uma com probabilidade de sucesso . - Aproximação Normal: Quando
é grande e não é muito próximo de 0 ou 1, a distribuição binomial pode ser aproximada por uma distribuição normal com média e desvio padrão .
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média (
) e o desvio padrão (
) da distribuição binomial:
Passo 3
A aproximação normal nos permite calcular probabilidades para intervalos. No entanto, queremos a probabilidade exata de obter exatamente 70 sucessos. Para isso, usamos a correção de continuidade. Ou seja, calculamos a probabilidade de estar entre 69,5 e 70,5 sucessos.
Passo 4
Vamos padronizar esses valores para encontrar os valores correspondentes na distribuição normal padrão (
):
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a probabilidade de
estar entre
e
. Usando a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora, encontramos:
Isso significa que a probabilidade de obter exatamente 70 sucessos é aproximadamente 8,67%.
Passo 6
Agora, vamos para o segundo exercício! Aqui, a probabilidade de um item ser defeituoso é
e vamos produzir
itens. Queremos estimar a probabilidade de obter entre 10 e 20 itens defeituosos usando a aproximação normal.
Os conceitos que vamos usar são similares aos do primeiro exercício:
- Distribuição Binomial: Número de sucessos (neste caso, itens defeituosos) em
tentativas. - Aproximação Normal: Com
grande e não muito próximo de 0 ou 1, podemos usar a distribuição normal com média e desvio padrão .
Passo 7
Vamos calcular a média (
) e o desvio padrão (
):
Passo 8
Queremos a probabilidade de obter entre 10 e 20 itens defeituosos. Usaremos a correção de continuidade, considerando o intervalo de 9,5 a 20,5.
Passo 9
Vamos padronizar esses valores para a distribuição normal padrão (
):
Passo 10
Agora, encontramos a probabilidade de
estar entre
e
. Consultando a tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora:
Isso significa que a probabilidade de obter entre 10 e 20 itens defeituosos é aproximadamente 84,76%.
Resposta
A probabilidade de obter entre 10 e 20 itens defeituosos é aproximadamente 84,76%.