Considere um sistema onde a probabilidade de sucesso em um evento é p=0,7. Se o evento é repetido N=100 vezes, utilize a aproximação gaussiana para calcular a probabilidade de obter exatamente 70 sucessos.
29 - Em um processo de produção, a probabilidade de um item ser defeituoso é p=0,03. Se 500 itens são produzidos, use a aproximação normal para estimar a probabilidade de obter entre 10 e 20 itens defeituosos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o primeiro exercício juntos! O problema diz que a probabilidade de sucesso em cada tentativa é p = 0,7 e que vamos repetir o evento N = 100 vezes. Queremos encontrar a probabilidade de obter exatamente 70 sucessos usando a aproximação gaussiana (também conhecida como aproximação normal).
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos:
  • Distribuição Binomial: Modela o número de sucessos em N tentativas independentes, cada uma com probabilidade de sucesso p.
  • Aproximação Normal: Quando N é grande e p não é muito próximo de 0 ou 1, a distribuição binomial pode ser aproximada por uma distribuição normal com média mu = Np e desvio padrão sigma = raizNp(1-p).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média ( mu) e o desvio padrão ( sigma) da distribuição binomial:
mu = Np = 100 times 0,7 = 70
sigma = raizNp(1-p) = raiz100 times 0,7 times 0,3 = raiz21 approx 4,5837

Passo 3

A aproximação normal nos permite calcular probabilidades para intervalos. No entanto, queremos a probabilidade exata de obter exatamente 70 sucessos. Para isso, usamos a correção de continuidade. Ou seja, calculamos a probabilidade de estar entre 69,5 e 70,5 sucessos.

Passo 4

Vamos padronizar esses valores para encontrar os valores correspondentes na distribuição normal padrão ( Z):
Z1 = 69,5 - musigma = 69,5 - 704,5837 approx -0,1091
Z2 = 70,5 - musigma = 70,5 - 704,5837 approx 0,1091

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a probabilidade de Z estar entre -0,1091 e 0,1091. Usando a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora, encontramos:
P(-0,1091 <= Z <= 0,1091) approx 0,0867
Isso significa que a probabilidade de obter exatamente 70 sucessos é aproximadamente 8,67%.

Passo 6

Agora, vamos para o segundo exercício! Aqui, a probabilidade de um item ser defeituoso é p = 0,03 e vamos produzir 500 itens. Queremos estimar a probabilidade de obter entre 10 e 20 itens defeituosos usando a aproximação normal.
Os conceitos que vamos usar são similares aos do primeiro exercício:
  • Distribuição Binomial: Número de sucessos (neste caso, itens defeituosos) em N tentativas.
  • Aproximação Normal: Com N grande e p não muito próximo de 0 ou 1, podemos usar a distribuição normal com média mu = Np e desvio padrão sigma = raizNp(1-p).

Passo 7

Vamos calcular a média ( mu) e o desvio padrão ( sigma):
mu = Np = 500 times 0,03 = 15
sigma = raizNp(1-p) = raiz500 times 0,03 times 0,97 approx raiz14,55 approx 3,81

Passo 8

Queremos a probabilidade de obter entre 10 e 20 itens defeituosos. Usaremos a correção de continuidade, considerando o intervalo de 9,5 a 20,5.

Passo 9

Vamos padronizar esses valores para a distribuição normal padrão ( Z):
Z1 = 9,5 - musigma = 9,5 - 153,81 approx -1,44
Z2 = 20,5 - musigma = 20,5 - 153,81 approx 1,44

Passo 10

Agora, encontramos a probabilidade de Z estar entre -1,44 e 1,44. Consultando a tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora:
P(-1,44 <= Z <= 1,44) approx 0,8476
Isso significa que a probabilidade de obter entre 10 e 20 itens defeituosos é aproximadamente 84,76%.

Resposta

A probabilidade de obter entre 10 e 20 itens defeituosos é aproximadamente 84,76%.

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