Considere um sistema quântico cujo espaço de Hilbert é bidimensional. Sejam
e
dois estados que formam uma base ortonormal nesse espaço, na qual o Hamiltoniano é escrito na forma
Seja
um observável do sistema, que nessa base assume a forma
em que
e
são constantes reais, com dimensões físicas apropriadas. Qual será o valor esperado
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o valor esperado de
:
- Espaço de Hilbert bidimensional com base ortonormal
. - Hamiltoniano
- Observável
com
e
reais.
- Pergunta: qual é o valor esperado
?
Observação importante (não é solução ainda): o valor de
depende do estado do sistema; o enunciado não fixou um estado inicial, então vamos trabalhar para um estado genérico e obter a expressão temporal de
.
Passo 2
Compatibilidade com o fato de
ser um observável: um observável deve ser hermitiano. Vamos checar a condição de hermiticidade para a forma dada de
.
- O adjunto é
- Para
precisamos e . Como e são dados reais no enunciado, isso implica necessariamente
Portanto, como
foi declarado observável e os coeficientes são reais, devemos ter
Passo 3
Escolhemos um estado inicial genérico (normalizado) na base
:
com
e condição de normalização
Queremos
, que em geral depende do tempo pela evolução unitária governada por
.
Passo 4
Aplicamos a evolução de Schrödinger:
. Como
e
são autovetores de
,
Logo os fatores de fase são simples:
Passo 5
Escrevendo explicitamente
obtemos
E o bra correspondente é
Passo 6
Calculemos
. Usando
:
Agora usamos
. Assim só sobram os termos que atuam corretamente:
Passo 7
Agora calculamos o valor esperado:
Substituindo
e
:
Note que os termos cruzados
e
são zero e foram descartados.]
Passo 8
Interpretando e simplificando: a soma acima é a soma de um número complexo e seu conjugado (porque
), logo o resultado é duas vezes a parte real:
Se escrevermos
e
com
, obtemos a forma explicitamente real
Duas observações rápidas e úteis para a prova:
- Se o sistema está em um autovetor de energia (por exemplo
ou ), então e . Isso faz sentido físico: é estritamente “off-diagonal” nessa base. - A frequência de oscilação do valor esperado é
: o acoplamento entre os níveis produz oscilações na diferença de fase entre as amplitudes.