Considere um sistema quântico cujo espaço de Hilbert é bidimensional. Sejam |1\rangle e |2\rangle dois estados que formam uma base ortonormal nesse espaço, na qual o Hamiltoniano é escrito na forma
H=\hbar \omega(|1\rangle\langle 1|-|2\rangle\langle 2|)
Seja A um observável do sistema, que nessa base assume a forma
A=a|1\rangle\langle 2|+b|2\rangle\langle 1|
em que a e b são constantes reais, com dimensões físicas apropriadas. Qual será o valor esperado \langle A\rangle ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o valor esperado de A:
  • Espaço de Hilbert bidimensional com base ortonormal |1\rangle,\;|2\rangle.
  • Hamiltoniano
H=\hbar \omega\bigl(|1\rangle\langle 1|-|2\rangle\langle 2|\bigr).
  • Observável
A=a|1\rangle\langle 2|+b|2\rangle\langle 1|,
com a e b reais.
  • Pergunta: qual é o valor esperado \langle A\rangle?
Observação importante (não é solução ainda): o valor de \langle A\rangle depende do estado do sistema; o enunciado não fixou um estado inicial, então vamos trabalhar para um estado genérico e obter a expressão temporal de \langle A\rangle.

Passo 2

Compatibilidade com o fato de A ser um observável: um observável deve ser hermitiano. Vamos checar a condição de hermiticidade para a forma dada de A.
  • O adjunto é
A^\dagger = a^{*}|2\rangle\langle 1| + b^{*}|1\rangle\langle 2|.
  • Para A^\dagger=A precisamos a^{*}=b e b^{*}=a. Como a e b são dados reais no enunciado, isso implica necessariamente
b=a.
Portanto, como A foi declarado observável e os coeficientes são reais, devemos ter
A = a\bigl(|1\rangle\langle 2| + |2\rangle\langle 1|\bigr).

Passo 3

Escolhemos um estado inicial genérico (normalizado) na base |1\rangle,|2\rangle:
|\psi(0)\rangle = \alpha |1\rangle + \beta |2\rangle,
com \alpha,\beta\in\mathbb{C} e condição de normalização
|\alpha|^{2}+|\beta|^{2}=1.
Queremos \langle A\rangle(t)=\langle\psi(t)|A|\psi(t)\rangle, que em geral depende do tempo pela evolução unitária governada por H.

Passo 4

Aplicamos a evolução de Schrödinger: |\psi(t)\rangle = e^{-iHt/\hbar}|\psi(0)\rangle. Como |1\rangle e |2\rangle são autovetores de H,
H|1\rangle = \hbar\omega|1\rangle,\qquad H|2\rangle = -\hbar\omega|2\rangle.
Logo os fatores de fase são simples:
e^{-iHt/\hbar}|1\rangle = e^{-i\omega t}|1\rangle,\qquad e^{-iHt/\hbar}|2\rangle = e^{i\omega t}|2\rangle.

Passo 5

Escrevendo explicitamente |\psi(t)\rangle obtemos
|\psi(t)\rangle = \alpha e^{-i\omega t}|1\rangle + \beta e^{i\omega t}|2\rangle.
E o bra correspondente é
\langle\psi(t)| = \alpha^{*} e^{i\omega t}\langle 1| + \beta^{*} e^{-i\omega t}\langle 2|.

Passo 6

Calculemos A|\psi(t)\rangle. Usando A=a(|1\rangle\langle 2|+|2\rangle\langle 1|):
\begin{aligned} A|\psi(t)\rangle &= a\bigl(|1\rangle\langle 2|+|2\rangle\langle 1|\bigr)\bigl(\alpha e^{-i\omega t}|1\rangle + \beta e^{i\omega t}|2\rangle\bigr)\\\ &= a\bigl(|1\rangle\langle 2|(\alpha e^{-i\omega t}|1\rangle)+|1\rangle\langle 2|(\beta e^{i\omega t}|2\rangle)\\\ &\qquad\qquad +|2\rangle\langle 1|(\alpha e^{-i\omega t}|1\rangle)+|2\rangle\langle 1|(\beta e^{i\omega t}|2\rangle)\bigr). \end{aligned}
Agora usamos \langle 2|1\rangle=0,\;\langle 2|2\rangle=1,\;\langle 1|1\rangle=1,\;\langle 1|2\rangle=0. Assim só sobram os termos que atuam corretamente:
A|\psi(t)\rangle = a\bigl(\beta e^{i\omega t}|1\rangle + \alpha e^{-i\omega t}|2\rangle\bigr).

Passo 7

Agora calculamos o valor esperado:
\langle A\rangle(t)=\langle\psi(t)|A|\psi(t)\rangle.
Substituindo \langle\psi(t)| e A|\psi(t)\rangle:
\begin{aligned} \langle A\rangle(t) &= \bigl(\alpha^{*} e^{i\omega t}\langle 1| + \beta^{*} e^{-i\omega t}\langle 2|\bigr) \cdot a\bigl(\beta e^{i\omega t}|1\rangle + \alpha e^{-i\omega t}|2\rangle\bigr)\\[6pt] &= a\bigl(\alpha^{*}\beta\, e^{i\omega t}e^{i\omega t}\langle 1|1\rangle + \beta^{*}\alpha\, e^{-i\omega t}e^{-i\omega t}\langle 2|2\rangle\bigr)\\[6pt] &= a\bigl(\alpha^{*}\beta\, e^{2i\omega t} + \beta^{*}\alpha\, e^{-2i\omega t}\bigr). \end{aligned}
Note que os termos cruzados \langle 1|2\rangle e \langle 2|1\rangle são zero e foram descartados.]

Passo 8

Interpretando e simplificando: a soma acima é a soma de um número complexo e seu conjugado (porque \beta^{*}\alpha=(\alpha^{*}\beta)^{*}), logo o resultado é duas vezes a parte real:
\langle A\rangle(t) = 2a\,\Re\!\bigl(\alpha^{*}\beta\, e^{2i\omega t}\bigr).
Se escrevermos \alpha = r_{1}e^{i\phi_{1}} e \beta = r_{2}e^{i\phi_{2}} com r_{1}=\lvert\alpha\rvert,\;r_{2}=\lvert\beta\rvert, obtemos a forma explicitamente real
\langle A\rangle(t) = 2a\,r_{1}r_{2}\cos\bigl(2\omega t + \phi_{2}-\phi_{1}\bigr).
Duas observações rápidas e úteis para a prova:
  • Se o sistema está em um autovetor de energia (por exemplo |1\rangle ou |2\rangle), então r_{1}r_{2}=0 e \langle A\rangle(t)=0. Isso faz sentido físico: A é estritamente “off-diagonal” nessa base.
  • A frequência de oscilação do valor esperado é 2\omega: o acoplamento entre os níveis produz oscilações na diferença de fase entre as amplitudes.

Resposta

\displaystyle \langle A\rangle(t)=a\bigl(\alpha^{*}\beta\, e^{2i\omega t}+\beta^{*}\alpha\, e^{-2i\omega t}\bigr)=2a\,\Re\!\bigl(\alpha^{*}\beta\, e^{2i\omega t}\bigr)=2a|\alpha||\beta|\cos\bigl(2\omega t+\phi_{2}-\phi_{1}\bigr)

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