7- Um elétron é atraído para uma superfície de acordo com o potencial abaixo:
V(x)= \begin{cases}\infty, & x<0 \\\\ -\frac{\alpha e^{2}}{x}, & x \geq 0\end{cases}
A constante \alpha é positiva e e é a magnitude da carga eletrônica.
(a) Escreva a equação de Schrödinger independente do tempo para esse potencial e determine as condições de contorno que a função de onda deve satisfazer.
(b) Mostre que a função \psi(x)=A x e^{-b x}, com A constante, é solução da equação para algum valor da constante positiva b e para alguma energia.
(c) Encontre a energia do elétron.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado o potencial
V(x)= \begin{cases}\infty, & x<0,\\[4pt] -\dfrac{\alpha e^{2}}{x}, & x\ge 0,\end{cases}
com \alpha>0 e e sendo a magnitude da carga do elétron.
  • Perguntas:
    (a) Escrever a equação de Schrödinger independente do tempo para esse potencial e determinar as condições de contorno que a função de onda deve satisfazer.
    (b) Mostrar que \psi(x)=A x e^{-b x}, com A constante, é solução da equação para algum b>0 e algum valor de energia.
    (c) Encontrar a energia do elétron correspondente.]

Passo 2

Escrever a equação de Schrödinger independente do tempo para x\ge 0 e discutir condições de contorno.
  • A equação de Schrödinger independente do tempo unidimensional para uma partícula de massa m é
-\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\dfrac{d^{2}\psi}{dx^{2}} + V(x)\,\psi(x) = E\,\psi(x).
Aqui \hbar é a constante de Planck reduzida, m é a massa do elétron, V(x) é o potencial dado, \psi(x) é a função de onda estacionária e E a energia associada.
  • Região x<0: V(x)=\infty. Isso implica que a partícula não pode estar nessa região, logo a densidade de probabilidade é zero e
\psi(x)=0\quad\text{para }x<0.
  • Continuidade em x=0: a função de onda deve ser contínua onde o potencial não é infinito por ambos os lados. Como do lado esquerdo \psi(0^-)=0, por continuidade obrigamos
\psi(0)=0.
  • Comportamento em x\to +\infty: a função de onda deve ser normalizável, logo \psi(x)\to 0 quando x\to+\infty.
  • Para x>0 usamos a equação com V(x)=-\dfrac{\alpha e^{2}}{x}.

Passo 3

Preparar a verificação da forma proposta \psi(x)=A x e^{-b x} calculando derivadas.
  • Definir \psi(x)=A x e^{-b x} com A constante e b>0 (a exigir).
  • Derivada primeira:
\psi'(x)=\dfrac{d}{dx}\big(A x e^{-b x}\big)=A\big(e^{-b x} + x(-b)e^{-b x}\big)=A e^{-b x}(1 - b x).
  • Derivada segunda:
\psi''(x)=\dfrac{d}{dx}\big(A e^{-b x}(1 - b x)\big) = A\big(-b e^{-b x}(1-bx) + e^{-b x}(-b)\big).
Simplificando:
\psi''(x)=A e^{-b x}\big(b^{2}x - 2b\big).

Passo 4

Substituir \psi, \psi'' e V na equação de Schrödinger para x>0 e simplificar.
A equação para x>0 é
-\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\psi''(x) - \dfrac{\alpha e^{2}}{x}\psi(x) = E\psi(x).
Substituindo \psi e \psi'':
-\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\,A e^{-b x}\big(b^{2}x - 2b\big) - \dfrac{\alpha e^{2}}{x}\,A x e^{-b x} = E\,A x e^{-b x}.
Dividindo ambos os lados por A e^{-b x} (não nulo para x>0):
-\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\big(b^{2}x - 2b\big) - \alpha e^{2} = E x.
Reorganizando termos por potências de x:
x\left[-\dfrac{\hbar^{2}}{2m}b^{2} - E\right] + \left[\dfrac{\hbar^{2} b}{m} - \alpha e^{2}\right] = 0.

Passo 5

Impor que a identidade anterior valha para todo x>0 e determinar b e E.
A expressão é um polinômio em x que deve ser sempre zero; portanto os coeficientes das partes com x e o termo constante devem ser nulos separadamente:
  1. Coeficiente de x:
-\dfrac{\hbar^{2}}{2m}b^{2} - E = 0 \quad\Rightarrow\quad E = -\dfrac{\hbar^{2} b^{2}}{2m}.
  1. Termo constante:
\dfrac{\hbar^{2} b}{m} - \alpha e^{2} = 0 \quad\Rightarrow\quad b = \dfrac{m\alpha e^{2}}{\hbar^{2}}.
  • Observação: com \alpha>0, m>0 e \hbar^{2}>0 segue que b>0, conforme exigido.

Passo 6

Substituir b em E e interpretar o resultado.
Substituindo b em E:
E = -\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\left(\dfrac{m\alpha e^{2}}{\hbar^{2}}\right)^{2} = -\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\cdot \dfrac{m^{2}\alpha^{2} e^{4}}{\hbar^{4}} = -\dfrac{m \alpha^{2} e^{4}}{2\hbar^{2}}.
  • Conclusão física: a energia é negativa, característica de um estado ligado; a constante A permanece como fator de normalização (pode ser determinada impondo \int_{0}^{\infty}|\psi|^{2}dx=1 se desejado).

Resposta

(a) -\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\dfrac{d^{2}\psi}{dx^{2}} + V(x)\psi = E\psi para x\ge 0, com V(x)=-\dfrac{\alpha e^{2}}{x} para x\ge0. Condições de contorno: \psi(x)=0 para x<0, \psi(0)=0 e \psi(x)\to0 quando x\to+\infty.
(b) A função \psi(x)=A x e^{-b x} é solução para
b=\dfrac{m\alpha e^{2}}{\hbar^{2}},
com b>0.
(c) A energia do elétron é
E=-\dfrac{m \alpha^{2} e^{4}}{2\hbar^{2}}.

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