A constante \alpha é positiva e e é a magnitude da carga eletrônica.
(a) Escreva a equação de Schrödinger independente do tempo para esse potencial e determine as condições de contorno que a função de onda deve satisfazer.
(b) Mostre que a função \psi(x)=A x e^{-b x}, com A constante, é solução da equação para algum valor da constante positiva b e para alguma energia.
(c) Encontre a energia do elétron.
com \alpha>0 e e sendo a magnitude da carga do elétron.
Perguntas:
(a) Escrever a equação de Schrödinger independente do tempo para esse potencial e determinar as condições de contorno que a função de onda deve satisfazer.
(b) Mostrar que \psi(x)=A x e^{-b x}, com A constante, é solução da equação para algum b>0 e algum valor de energia.
(c) Encontrar a energia do elétron correspondente.]
Passo 2
Escrever a equação de Schrödinger independente do tempo para x\ge 0 e discutir condições de contorno.
A equação de Schrödinger independente do tempo unidimensional para uma partícula de massa m é
Aqui \hbar é a constante de Planck reduzida, m é a massa do elétron, V(x) é o potencial dado, \psi(x) é a função de onda estacionária e E a energia associada.
Região x<0: V(x)=\infty. Isso implica que a partícula não pode estar nessa região, logo a densidade de probabilidade é zero e
\psi(x)=0\quad\text{para }x<0.
Continuidade em x=0: a função de onda deve ser contínua onde o potencial não é infinito por ambos os lados. Como do lado esquerdo \psi(0^-)=0, por continuidade obrigamos
\psi(0)=0.
Comportamento em x\to +\infty: a função de onda deve ser normalizável, logo \psi(x)\to 0 quando x\to+\infty.
Para x>0 usamos a equação com V(x)=-\dfrac{\alpha e^{2}}{x}.
Passo 3
Preparar a verificação da forma proposta \psi(x)=A x e^{-b x} calculando derivadas.
Definir \psi(x)=A x e^{-b x} com A constante e b>0 (a exigir).
Derivada primeira:
\psi'(x)=\dfrac{d}{dx}\big(A x e^{-b x}\big)=A\big(e^{-b x} + x(-b)e^{-b x}\big)=A e^{-b x}(1 - b x).
Conclusão física: a energia é negativa, característica de um estado ligado; a constante A permanece como fator de normalização (pode ser determinada impondo \int_{0}^{\infty}|\psi|^{2}dx=1 se desejado).
Resposta
(a) -\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\dfrac{d^{2}\psi}{dx^{2}} + V(x)\psi = E\psi para x\ge 0, com V(x)=-\dfrac{\alpha e^{2}}{x} para x\ge0. Condições de contorno: \psi(x)=0 para x<0, \psi(0)=0 e \psi(x)\to0 quando x\to+\infty.