Considere um sistema de dois estados orto-normalizados |1\rangle e |2\rangle. Considere ainda que o Hamiltoniano do sistema é dado por H=h|1\rangle\langle 1|+g|1\rangle\langle 2|+g|2\rangle\langle 1|+h|2\rangle\langle 2|, onde h e g são constantes. Calcule as autoenergias desse sistema.

Passo 1

O enunciado dá um sistema com dois estados orto-normalizados |1\rangle e |2\rangle. O Hamiltoniano é
H = h\,|1\rangle\langle 1| + g\,|1\rangle\langle 2| + g\,|2\rangle\langle 1| + h\,|2\rangle\langle 2|,
onde h e g são constantes (números). A pergunta é: calcular as autoenergias do sistema (ou seja, os autovalores de H).
Informações relevantes fornecidas:
\text{estados: } |1\rangle,\; |2\rangle \quad\text{(orto-normalizados)},\qquad H \text{ conforme escrito acima},\qquad h,g \in \mathbb{R}\\ (\text{constantes}).

Passo 2

Primeiro passo prático: escrever H como uma matriz na base \{|1\rangle,|2\rangle\}. As entradas da matriz são H_{ij}=\langle i|H|j\rangle com i,j\in\{1,2\}. Calculemos cada entrada:
\langle 1|H|1\rangle = h,\qquad \langle 1|H|2\rangle = g,
\langle 2|H|1\rangle = g,\qquad \langle 2|H|2\rangle = h.
Logo a matriz de H nessa base é
H \longrightarrow \begin{pmatrix} h & g \\[4pt] g & h \end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora definimos o problema de autovalores. Procuramos números escalares E (autoenergias) e vetores não nulos |\psi\rangle tais que
H|\psi\rangle = E|\psi\rangle.
Se escrevermos |\psi\rangle em componentes na base como |\psi\rangle = a|1\rangle + b|2\rangle, a equação vira uma equação matricial
\begin{pmatrix} h & g \\[4pt] g & h \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\[4pt] b \end{pmatrix} = E \begin{pmatrix} a \\[4pt] b \end{pmatrix}.
Para existir solução não trivial (a,b)\neq(0,0) é necessário e suficiente que a matriz \,H - E I\, seja singular, isto é, que seu determinante seja zero:
\det\big(H - E I\big)=0.
Aqui I é a matriz identidade 2\times2.]

Passo 4

Escrevemos explicitamente o determinante. A matriz H - E I é
H - E I = \begin{pmatrix} h-E & g \\[4pt] g & h-E \end{pmatrix}.
O determinante de uma matriz 2\times2 \begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \end{pmatrix} é ad-bc. Aplicando aqui:
\det\big(H - E I\big) = (h-E)(h-E) - g\cdot g = (h-E)^2 - g^2.
Impondo a condição de autovalores:
(h-E)^2 - g^2 = 0.]

Passo 5

Resolvemos a equação característica (h-E)^2 - g^2 = 0. Isso é uma diferença de quadrados, que dá
(h-E)^2 = g^2 \quad\Longrightarrow\quad h-E = \pm g.
Isolando E em cada sinal:
\text{para o sinal } +:\quad h-E = +g \Rightarrow E = h - g,
\text{para o sinal } -:\quad h-E = -g \Rightarrow E = h + g.
Portanto as duas autoenergias são E = h+g e E = h-g. (Observação rápida: podemos também ver isso usando a fórmula geral para autovalores de matriz 2\times2 via traço e determinante; aqui o resultado coincide.)

Passo 6

Interpretação rápida e checagem: a soma dos autovalores deve ser igual ao traço da matriz, que é 2h; somando h+g e h-g obtemos 2h — está consistente. O produto dos autovalores deve ser o determinante h^2-g^2; multiplicando (h+g)(h-g) obtemos h^2-g^2 — também consistente. Isso confirma que os valores encontrados estão corretos.

Resposta

E_{1} = h + g \n
E_{2} = h - g

Exercícios relacionados