Considere um sistema de dois estados orto-normalizados
e
. Considere ainda que o Hamiltoniano do sistema é dado por
, onde
e
são constantes. Calcule as autoenergias desse sistema.
Passo 1
O enunciado dá um sistema com dois estados orto-normalizados
e
. O Hamiltoniano é
onde
e
são constantes (números). A pergunta é: calcular as autoenergias do sistema (ou seja, os autovalores de
).
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Primeiro passo prático: escrever
como uma matriz na base
. As entradas da matriz são
com
. Calculemos cada entrada:
Logo a matriz de
nessa base é
Passo 3
Agora definimos o problema de autovalores. Procuramos números escalares
(autoenergias) e vetores não nulos
tais que
Se escrevermos
em componentes na base como
, a equação vira uma equação matricial
Para existir solução não trivial
é necessário e suficiente que a matriz
seja singular, isto é, que seu determinante seja zero:
Aqui
é a matriz identidade
.]
Passo 4
Escrevemos explicitamente o determinante. A matriz
é
O determinante de uma matriz
é
. Aplicando aqui:
Impondo a condição de autovalores:
Passo 5
Resolvemos a equação característica
. Isso é uma diferença de quadrados, que dá
Isolando
em cada sinal:
Portanto as duas autoenergias são
e
. (Observação rápida: podemos também ver isso usando a fórmula geral para autovalores de matriz
via traço e determinante; aqui o resultado coincide.)
Passo 6
Interpretação rápida e checagem: a soma dos autovalores deve ser igual ao traço da matriz, que é
; somando
e
obtemos
— está consistente. O produto dos autovalores deve ser o determinante
; multiplicando
obtemos
— também consistente. Isso confirma que os valores encontrados estão corretos.