Considere um sistema quântico cujo espaço de Hilbet é gerado por uma base ortonormal de 3 estados, |1\rangle,|2\rangle \mathrm{e}|3\rangle, que são todos auto-estados degenerados de um observável D com autovalores iguais a \delta. A atuação do hamiltoniano H do sistema nos estados da base é:
\begin{gathered} H|1\rangle=\Omega|1\rangle+\Omega|3\rangle, \\\ H|2\rangle=\Omega|2\rangle+\Delta|3\rangle, \\\ H|3\rangle=\Omega|1\rangle+\Delta|2\rangle+\Omega|3\rangle, \end{gathered}
onde \Omega e \Delta são constantes reais com dimensão de energia.
a) Escreva a matriz que representa H na base descrita acima.
b) H é hermitiano?

Passo 1

O enunciado dá um espaço de Hilbert com base ortonormal formada pelos vetores |1\rangle,\;|2\rangle,\;|3\rangle. Foi informada a ação do Hamiltoniano H sobre cada vetor da base:
\begin{gathered} H|1\rangle=\Omega|1\rangle+\Omega|3\rangle,\\\ H|2\rangle=\Omega|2\rangle+\Delta|3\rangle,\\\ H|3\rangle=\Omega|1\rangle+\Delta|2\rangle+\Omega|3\rangle, \end{gathered}
onde \Omega e \Delta são constantes reais com dimensão de energia.
As perguntas são:
  1. Escrever a matriz que representa H na base \{|1\rangle,|2\rangle,|3\rangle\}.
  2. Determinar se H é hermitiano.

Passo 2

Regra prática para construir a matriz de um operador linear H numa base ortonormal \{|i\rangle\}:
  • Os elementos da matriz são H_{ij}=\langle i|H|j\rangle. Aqui i indexa a linha e j a coluna.
  • A coluna j da matriz é justamente a expansão de H|j\rangle nas componentes relativas à base: se H|j\rangle=\sum_i c_i^{(j)}|i\rangle, então a coluna j tem entradas c_i^{(j)}=\langle i|H|j\rangle.
    Vou usar a ordem da base exatamente como dada: primeira coluna corresponde a |1\rangle, segunda a |2\rangle, terceira a |3\rangle. Também vou usar a ortonormalidade \langle i|j\rangle=\delta_{ij}.

Passo 3

Calcular os elementos da coluna 1 (ação sobre |1\rangle). Do enunciado:
H|1\rangle=\Omega|1\rangle+\Omega|3\rangle.
Aplicando \langle 1|, \langle 2|, \langle 3| obtemos:
\langle 1|H|1\rangle=\Omega\langle 1|1\rangle+\Omega\langle 1|3\rangle=\Omega\cdot1+\Omega\cdot0=\Omega,
\langle 2|H|1\rangle=\Omega\langle 2|1\rangle+\Omega\langle 2|3\rangle=0+0=0,
\langle 3|H|1\rangle=\Omega\langle 3|1\rangle+\Omega\langle 3|3\rangle=0+\Omega=\Omega.
Logo, a primeira coluna é \begin{pmatrix}\Omega\\[4pt]0\\[4pt]\Omega\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular os elementos da coluna 2 (ação sobre |2\rangle). Do enunciado:
H|2\rangle=\Omega|2\rangle+\Delta|3\rangle.
Tomando as projeções:
\langle 1|H|2\rangle=\Omega\langle 1|2\rangle+\Delta\langle 1|3\rangle=0+0=0,
\langle 2|H|2\rangle=\Omega\langle 2|2\rangle+\Delta\langle 2|3\rangle=\Omega\cdot1+ \Delta\cdot0=\Omega,
\langle 3|H|2\rangle=\Omega\langle 3|2\rangle+\Delta\langle 3|3\rangle=0+\Delta=\Delta.
Portanto a segunda coluna é \begin{pmatrix}0\\[4pt]\Omega\\[4pt]\Delta\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular os elementos da coluna 3 (ação sobre |3\rangle). Do enunciado:
H|3\rangle=\Omega|1\rangle+\Delta|2\rangle+\Omega|3\rangle.
As projeções dão:
\langle 1|H|3\rangle=\Omega\langle 1|1\rangle+\Delta\langle 1|2\rangle+\Omega\langle 1|3\rangle=\Omega+0+0=\Omega,
\langle 2|H|3\rangle=\Omega\langle 2|1\rangle+\Delta\langle 2|2\rangle+\Omega\langle 2|3\rangle=0+\Delta+0=\Delta,
\langle 3|H|3\rangle=\Omega\langle 3|1\rangle+\Delta\langle 3|2\rangle+\Omega\langle 3|3\rangle=0+0+\Omega=\Omega.
Assim, a terceira coluna é \begin{pmatrix}\Omega\\[4pt]\Delta\\[4pt]\Omega\end{pmatrix}.]

Passo 6

Montando as três colunas obtidas, a matriz de H na base \{|1\rangle,|2\rangle,|3\rangle\} é
H= \begin{pmatrix} \Omega & 0 & \Omega\\[6pt] 0 & \Omega & \Delta\\[6pt] \Omega & \Delta & \Omega \end{pmatrix}.]

Passo 7

Verificação de hermiticidade. Definição: um operador H é hermitiano se H^\dagger=H, e em componentes isso significa
H_{ij}=\langle i|H|j\rangle=\overline{\langle j|H|i\rangle}=\overline{H_{ji}}.
No caso da matriz encontrada, os elementos fora da diagonal são 0,\;\Omega,\;\Delta e os correspondentes simétricos são idênticos: H_{12}=0=H_{21}, H_{13}=\Omega=H_{31}, H_{23}=\Delta=H_{32}. Como \Omega e \Delta foram dados como números reais, tem-se \overline{\Omega}=\Omega e \overline{\Delta}=\Delta. Logo H_{ij}=\overline{H_{ji}} para todos os i,j, ou seja H^\dagger=H. Conclusão: H é hermitiano (o que é esperado para um Hamiltoniano físico, pois hermiticidade garante autovalores reais).

Resposta

H= \begin{pmatrix} \Omega & 0 & \Omega\\[6pt] 0 & \Omega & \Delta\\[6pt] \Omega & \Delta & \Omega \end{pmatrix}
Sim, H é hermitiano.]

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