Considere um sistema quântico cujo espaço de Hilbet é gerado por uma base ortonormal de 3 estados, |1\rangle,|2\rangle \mathrm{e}|3\rangle, que são todos auto-estados degenerados de um observável D com autovalores iguais a \delta. A atuação do hamiltoniano H do sistema nos estados da base é:
onde \Omega e \Delta são constantes reais com dimensão de energia.
a) Escreva a matriz que representa H na base descrita acima.
b) H é hermitiano?
Passo 1
O enunciado dá um espaço de Hilbert com base ortonormal formada pelos vetores |1\rangle,\;|2\rangle,\;|3\rangle. Foi informada a ação do Hamiltoniano H sobre cada vetor da base:
onde \Omega e \Delta são constantes reais com dimensão de energia.
As perguntas são:
Escrever a matriz que representa H na base \{|1\rangle,|2\rangle,|3\rangle\}.
Determinar se H é hermitiano.
Passo 2
Regra prática para construir a matriz de um operador linear H numa base ortonormal \{|i\rangle\}:
Os elementos da matriz são H_{ij}=\langle i|H|j\rangle. Aqui i indexa a linha e j a coluna.
A coluna j da matriz é justamente a expansão de H|j\rangle nas componentes relativas à base: se H|j\rangle=\sum_i c_i^{(j)}|i\rangle, então a coluna j tem entradas c_i^{(j)}=\langle i|H|j\rangle.
Vou usar a ordem da base exatamente como dada: primeira coluna corresponde a |1\rangle, segunda a |2\rangle, terceira a |3\rangle. Também vou usar a ortonormalidade \langle i|j\rangle=\delta_{ij}.
Passo 3
Calcular os elementos da coluna 1 (ação sobre |1\rangle). Do enunciado:
No caso da matriz encontrada, os elementos fora da diagonal são 0,\;\Omega,\;\Delta e os correspondentes simétricos são idênticos: H_{12}=0=H_{21}, H_{13}=\Omega=H_{31}, H_{23}=\Delta=H_{32}. Como \Omega e \Delta foram dados como números reais, tem-se \overline{\Omega}=\Omega e \overline{\Delta}=\Delta. Logo H_{ij}=\overline{H_{ji}} para todos os i,j, ou seja H^\dagger=H. Conclusão: H é hermitiano (o que é esperado para um Hamiltoniano físico, pois hermiticidade garante autovalores reais).