Mostre que as relações de comutação \left[\widehat{S}_{x}, \widehat{S}_{y}\right]=i \hbar \widehat{S}_{z}, e permutações cíclicas em x, y, z, são satisfeitas.
Passo 1
O enunciado dá as matrizes (no espaço \mathbb{C}^{3}):
Usarei isso para calcular os comutadores de forma organizada. Primeiro mostrarei \left[\widehat{S}_{x},\widehat{S}_{y}\right]=i\hbar\widehat{S}_{z} transformando-o em uma relação entre M_{x},M_{y},M_{z}.
Passo 3
Calcular [ \widehat{S}_{x},\widehat{S}_{y}] em termos das M:
Calcular M_{x}M_{y} multiplicando linha por coluna (faça com calma na prova):
As colunas de M_{y} são c_{1}=(0,i,0)^{T},\;c_{2}=(-i,0,i)^{T},\;c_{3}=(0,-i,0)^{T}.
As linhas de M_{x} são r_{1}=(0,1,0),\;r_{2}=(1,0,1),\;r_{3}=(0,1,0).
Multiplicando obtemos
M_{x}M_{y}=\begin{pmatrix} i & 0 & -i \\\\ 0 & 0 & 0 \\\ i & 0 & -i \end{pmatrix}.
Passo 5
Calcular M_{y}M_{x} usando as linhas de M_{y} e colunas de M_{x}:
As linhas de M_{y} são s_{1}=(0,-i,0),\;s_{2}=(i,0,-i),\;s_{3}=(0,i,0).
As colunas de M_{x} são d_{1}=(0,1,0)^{T},\;d_{2}=(1,0,1)^{T},\;d_{3}=(0,1,0)^{T}.
Fazendo os produtos temos
M_{y}M_{x}=\begin{pmatrix} - i & 0 & - i \\\\ 0 & 0 & 0 \\\ i & 0 & i \end{pmatrix}.
Para as permutações cíclicas podemos proceder do mesmo modo ou usar simetria. Mostro rapidamente os comutadores restantes calculando as diferenças entre as M:
Calculei (pelo mesmo tipo de produto linha×coluna) que