Os operadores de spin de uma partícula de spin-1 (um tripleto) podem ser represetados no espaço complexo C^{3} pelas matrizes
\widehat{S}_{x}=\frac{\hbar}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right), \widehat{S}_{y}=\frac{\hbar}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{ccc} 0 & -i & 0 \\\ i & 0 & -i \\\\ 0 & i & 0 \end{array}\right), \widehat{S}_{z}=\hbar\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right)
Mostre que as relações de comutação \left[\widehat{S}_{x}, \widehat{S}_{y}\right]=i \hbar \widehat{S}_{z}, e permutações cíclicas em x, y, z, são satisfeitas.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes (no espaço \mathbb{C}^{3}):
\widehat{S}_{x}=\frac{\hbar}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},\quad \widehat{S}_{y}=\frac{\hbar}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\\ i & 0 & -i \\\\ 0 & i & 0 \end{pmatrix},\quad \widehat{S}_{z}=\hbar\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
O que se pede: mostrar que as relações de comutação
\left[\widehat{S}_{x},\widehat{S}_{y}\right]=i\hbar\,\widehat{S}_{z},
e as permutações cíclicas
\left[\widehat{S}_{y},\widehat{S}_{z}\right]=i\hbar\,\widehat{S}_{x},\qquad \left[\widehat{S}_{z},\widehat{S}_{x}\right]=i\hbar\,\widehat{S}_{y},
são satisfeitas. Aqui [A,B] significa AB-BA.

Passo 2

Conveniente fatorar os prefatores \hbar. Defino as matrizes sem o fator \hbar:
M_{x}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},\qquad M_{y}=\begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\\ i & 0 & -i \\\\ 0 & i & 0 \end{pmatrix},\qquad M_{z}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
Então
\widehat{S}_{x}=\frac{\hbar}{\sqrt{2}}M_{x},\quad \widehat{S}_{y}=\frac{\hbar}{\sqrt{2}}M_{y},\quad \widehat{S}_{z}=\hbar M_{z}.
Usarei isso para calcular os comutadores de forma organizada. Primeiro mostrarei \left[\widehat{S}_{x},\widehat{S}_{y}\right]=i\hbar\widehat{S}_{z} transformando-o em uma relação entre M_{x},M_{y},M_{z}.

Passo 3

Calcular [ \widehat{S}_{x},\widehat{S}_{y}] em termos das M:
\left[\widehat{S}_{x},\widehat{S}_{y}\right] =\frac{\hbar}{\sqrt{2}}M_{x}\cdot\frac{\hbar}{\sqrt{2}}M_{y} -\frac{\hbar}{\sqrt{2}}M_{y}\cdot\frac{\hbar}{\sqrt{2}}M_{x} =\frac{\hbar^{2}}{2}\left[M_{x},M_{y}\right].
Portanto basta calcular \left[M_{x},M_{y}\right]=M_{x}M_{y}-M_{y}M_{x}.

Passo 4

Calcular M_{x}M_{y} multiplicando linha por coluna (faça com calma na prova):
As colunas de M_{y} são c_{1}=(0,i,0)^{T},\;c_{2}=(-i,0,i)^{T},\;c_{3}=(0,-i,0)^{T}.
As linhas de M_{x} são r_{1}=(0,1,0),\;r_{2}=(1,0,1),\;r_{3}=(0,1,0).
Multiplicando obtemos
M_{x}M_{y}=\begin{pmatrix} i & 0 & -i \\\\ 0 & 0 & 0 \\\ i & 0 & -i \end{pmatrix}.

Passo 5

Calcular M_{y}M_{x} usando as linhas de M_{y} e colunas de M_{x}:
As linhas de M_{y} são s_{1}=(0,-i,0),\;s_{2}=(i,0,-i),\;s_{3}=(0,i,0).
As colunas de M_{x} são d_{1}=(0,1,0)^{T},\;d_{2}=(1,0,1)^{T},\;d_{3}=(0,1,0)^{T}.
Fazendo os produtos temos
M_{y}M_{x}=\begin{pmatrix} - i & 0 & - i \\\\ 0 & 0 & 0 \\\ i & 0 & i \end{pmatrix}.

Passo 6

Agora a diferença:
\left[M_{x},M_{y}\right]=M_{x}M_{y}-M_{y}M_{x} =\begin{pmatrix} i-(-i) & 0-0 & -i-(-i) \\\\ 0-0 & 0-0 & 0-0 \\\ i-i & 0-0 & -i-i \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2i & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & -2i \end{pmatrix}.
Observe que isso é exatamente 2i vezes M_{z}:
\left[M_{x},M_{y}\right]=2i\,M_{z}.

Passo 7

Volto ao comutador original:
\left[\widehat{S}_{x},\widehat{S}_{y}\right] =\frac{\hbar^{2}}{2}\left[M_{x},M_{y}\right] =\frac{\hbar^{2}}{2}\cdot 2i\,M_{z}=i\hbar^{2}M_{z}.
Como \widehat{S}_{z}=\hbar M_{z}, temos
\left[\widehat{S}_{x},\widehat{S}_{y}\right]=i\hbar\,\widehat{S}_{z},
como pedido.

Passo 8

Para as permutações cíclicas podemos proceder do mesmo modo ou usar simetria. Mostro rapidamente os comutadores restantes calculando as diferenças entre as M:
  • Calculei (pelo mesmo tipo de produto linha×coluna) que
\left[M_{y},M_{z}\right]=i\,M_{x},
o que implica, multiplicando pelos prefatores,
\left[\widehat{S}_{y},\widehat{S}_{z}\right] =\frac{\hbar}{\sqrt{2}}\hbar\left[M_{y},M_{z}\right] =\frac{\hbar^{2}}{\sqrt{2}}\,iM_{x}=i\hbar\left(\frac{\hbar}{\sqrt{2}}M_{x}\right) =i\hbar\,\widehat{S}_{x}.
  • Similarmente encontra-se
\left[M_{z},M_{x}\right]=i\,M_{y},
levando a
\left[\widehat{S}_{z},\widehat{S}_{x}\right]=i\hbar\,\widehat{S}_{y}.

Resposta

\left[\widehat{S}_{x},\widehat{S}_{y}\right]=i\hbar\,\widehat{S}_{z}
\left[\widehat{S}_{y},\widehat{S}_{z}\right]=i\hbar\,\widehat{S}_{x}
\left[\widehat{S}_{z},\widehat{S}_{x}\right]=i\hbar\,\widehat{S}_{y}

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