Calcule \langle x\rangle,\left\langle x^{2}\right\rangle,\langle p\rangle,\left\langle p^{2}\right\rangle para os estados \psi_{0}(x)=\left[\frac{m \omega}{\pi \hbar}\right]^{1 / 4} e^{\frac{-m \omega}{2 \hbar} x^{2}} e \psi_{1}(x)= A_{1}\left[\frac{m \omega}{\pi \hbar}\right]^{1 / 4} \sqrt{\frac{2 m \omega}{\hbar}} x e^{\frac{-m \omega}{2 \hbar} x^{2}} por integração explicita. Dica! Em problemas envolvendo o oscilador harmônico, introduzir a variável \xi=\sqrt{m \omega / \hbar} x e a constante \alpha=(m \omega / \pi \hbar)^{\frac{1}{4}} torna as coisas mais simples.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Estados fornecidos: \psi_{0}(x)=\left[\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right]^{1/4} e^{-\frac{m\omega}{2\hbar}x^{2}}
\psi_{1}(x)=A_{1}\left[\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right]^{1/4}\sqrt{\frac{2m\omega}{\hbar}}\,x\,e^{-\frac{m\omega}{2\hbar}x^{2}}
  • Dica/variáveis úteis (vou usar exatamente isso): \xi=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}\,x,\qquad \alpha=\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}.
  • O que é pedido: calcular por integração explícita (para cada estado) os valores de \langle x\rangle,\quad \langle x^{2}\rangle,\quad \langle p\rangle,\quad \langle p^{2}\rangle.
  • Observações importantes tiradas do enunciado (não vou assumir nada além disso ao resolver):
    • Os integrandos envolvem Gaussianas; usar \xi simplifica as integrais.
    • A_{1} precisa ser determinado pela normalização (ou observado que |A_{1}|=1 para a função usual).
A partir do Passo 2 começo as integrações e explicações passo a passo.

Passo 2

Primeira tarefa: ajustar notação e expressar \psi_0 e \psi_1 em termos de \xi e \alpha.
  • Substituindo \xi e \alpha: \psi_{0}(x)=\alpha\,e^{-\xi^{2}/2}.Para \psi_{1} note que \sqrt{\dfrac{2m\omega}{\hbar}}\,x=\sqrt{2}\,\xi. Assim \psi_{1}(x)=A_{1}\,\alpha\,\sqrt{2}\,\xi\,e^{-\xi^{2}/2}.
  • Relação entre dx e d\xi: d\xi=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}\,dx \quad\Rightarrow\quad dx=\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}\,d\xi.
Vou usar essas formas para transformar todas as integrais em integrais em \xi com fatores simples.

Passo 3

Normalização de \psi_{1} (determinar A_{1}). Explico o procedimento de normalização: exigir \int_{-\infty}^{\infty}|\psi|^{2}dx=1.
Para \psi_{0} já é conhecida normalizada (padrão), mas verifico a forma útil:
  • Cálculo auxiliar: \alpha^{2}=\sqrt{\dfrac{m\omega}{\pi\hbar}}.
  • Note que \alpha^{2}\,dx=\sqrt{\frac{m\omega}{\pi\hbar}}\cdot\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}\,d\xi=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\,d\xi.
Agora normalize \psi_{1}:
1=\int_{-\infty}^{\infty}|\psi_{1}|^{2}dx=|A_{1}|^{2}\,2\int_{-\infty}^{\infty}\alpha^{2}\xi^{2}e^{-\xi^{2}}dx.
Substituindo \alpha^{2}dx=\dfrac{1}{\sqrt{\pi}}\,d\xi,
1=|A_{1}|^{2}\,2\cdot\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\xi^{2}e^{-\xi^{2}}d\xi.
Usar a integral padrão (vou justificar/mostrar logo): \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\xi^{2}e^{-\xi^{2}}d\xi=\frac{\sqrt{\pi}}{2}. Assim
1=|A_{1}|^{2}\,2\cdot\frac{1}{\sqrt{\pi}}\cdot\frac{\sqrt{\pi}}{2}=|A_{1}|^{2}.
Logo |A_{1}|=1. Podemos então escolher A_{1}=1 (a fase real não altera expectativas). A partir daqui tomo A_{1}=1.

Passo 4

Lembrar/mostrar as integrais gaussianas básicas que vou usar repetidamente:
  • Integral básica: \int_{-\infty}^{\infty}e^{-\xi^{2}}d\xi=\sqrt{\pi}.
  • Momento de ordem 2: \int_{-\infty}^{\infty}\xi^{2}e^{-\xi^{2}}d\xi=\frac{\sqrt{\pi}}{2}.(pode-se obter por diferenciação da integral gaussiana ou por simetria e mudança de variável).
  • Momento de ordem 4: \int_{-\infty}^{\infty}\xi^{4}e^{-\xi^{2}}d\xi=\frac{3\sqrt{\pi}}{4}.(mais geral: \int_{-\infty}^{\infty}\xi^{2n}e^{-\xi^{2}}d\xi=(2n-1)!!\dfrac{\sqrt{\pi}}{2^{n}}.)
Vou usar essas três constantemente.

Passo 5

Cálculo de \langle x\rangle para \psi_{0}.
  • Definição: \langle x\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\psi^{*}(x)\,x\,\psi(x)\,dx.
  • Para \psi_{0}: \psi_{0}^{2}(x)=\alpha^{2}e^{-\xi^{2}} é par (função par de x), enquanto x é ímpar. Produto par × ímpar é ímpar, e a integral de uma função ímpar em (-\infty,\infty) é zero. Portanto \langle x\rangle_{0}=0.
  • Comentário didático: esse é um argumento de paridade; evita cálculo explícito e é totalmente rigoroso.

Passo 6

Cálculo de \langle x^{2}\rangle para \psi_{0} por integração explícita.
  • Escrevo a integral em \xi: \langle x^{2}\rangle_{0}=\int_{-\infty}^{\infty}\alpha^{2}e^{-\xi^{2}}x^{2}dx.Substituo x^{2}=\dfrac{\hbar}{m\omega}\xi^{2} e dx=\sqrt{\dfrac{\hbar}{m\omega}}\,d\xi. Mas mais direto: usando \alpha^{2}dx=\dfrac{1}{\sqrt{\pi}}d\xi, \langle x^{2}\rangle_{0}=\frac{\hbar}{m\omega}\cdot\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\xi^{2}e^{-\xi^{2}}d\xi.
  • Usando \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\xi^{2}e^{-\xi^{2}}d\xi=\frac{\sqrt{\pi}}{2}, \langle x^{2}\rangle_{0}=\frac{\hbar}{m\omega}\cdot\frac{1}{\sqrt{\pi}}\cdot\frac{\sqrt{\pi}}{2}=\frac{\hbar}{2m\omega}.

Passo 7

Cálculo de \langle x\rangle e \langle x^{2}\rangle para \psi_{1}.
  • Paridade: \psi_{1}(x)\propto x e^{-\text{(par)}} é função ímpar. Então |\psi_{1}|^{2} é par. Assim: \langle x\rangle_{1}=\int_{-\infty}^{\infty}|\psi_{1}|^{2}x\,dxé integral de uma função ímpar (par × ímpar) e vale zero: \langle x\rangle_{1}=0.
  • Agora \langle x^{2}\rangle_{1}. Escrevo explicitamente: \langle x^{2}\rangle_{1}=\int_{-\infty}^{\infty}|\psi_{1}|^{2}x^{2}dx.Com \psi_{1}=\alpha\sqrt{2}\,\xi e^{-\xi^{2}/2} (já com A_{1}=1), temos |\psi_{1}|^{2}=2\alpha^{2}\xi^{2}e^{-\xi^{2}}. Usando \alpha^{2}dx=\dfrac{1}{\sqrt{\pi}}d\xi e x^{2}=\dfrac{\hbar}{m\omega}\xi^{2}, \langle x^{2}\rangle_{1}=2\cdot\frac{\hbar}{m\omega}\cdot\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\xi^{4}e^{-\xi^{2}}d\xi.
  • Usando \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\xi^{4}e^{-\xi^{2}}d\xi=\frac{3\sqrt{\pi}}{4}, \langle x^{2}\rangle_{1}=2\cdot\frac{\hbar}{m\omega}\cdot\frac{1}{\sqrt{\pi}}\cdot\frac{3\sqrt{\pi}}{4}=\frac{3}{2}\cdot\frac{\hbar}{m\omega}.
  • Observação física rápida (ajuda de memorização): para o oscilador harmônico \langle x^{2}\rangle_{n}=\left(n+\tfrac{1}{2}\right)\dfrac{\hbar}{m\omega}. Para n=0 1/2 e para n=1 3/2, como obtivemos.

Passo 8

Introduzir o operador momento e discutir \langle p\rangle.
  • Operador momento (na representação x): \hat p=-i\hbar\frac{d}{dx}.
  • Expectation: \langle p\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\psi^{*}(x)\left(-i\hbar\frac{d}{dx}\right)\psi(x)\,dx.
  • Paridade/realidade: as funções \psi_{0} e \psi_{1} dadas podem ser tomadas reais (escolhemos A_{1}=1 real). Para uma função real, \psi^{*}\dfrac{d\psi}{dx} é uma função ímpar se \psi tem paridade definida (produto de paridade): mais simples, uma combinação de argumentos de paridade mostra que \langle p\rangle é nulo para estados com paridade definida (porque integrando uma função ímpar sobre todo o eixo dá zero). Portanto \langle p\rangle_{0}=0,\qquad \langle p\rangle_{1}=0.
  • Se quiser, poderia integrar explicitamente e ver cancelamento; o argumento de paridade é mais rápido e totalmente rigoroso.

Passo 9

Cálculo explícito de \langle p^{2}\rangle usando a representação diferencial (faço para \psi_{0} e \psi_{1}).
  • Operador: \hat p^{2}=-\hbar^{2}\frac{d^{2}}{dx^{2}}.
  • Mudar derivadas para a variável \xi. Como \xi=\sqrt{\dfrac{m\omega}{\hbar}}x, \frac{d}{dx}=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}\frac{d}{d\xi},\qquad \frac{d^{2}}{dx^{2}}=\frac{m\omega}{\hbar}\frac{d^{2}}{d\xi^{2}}.Assim \hat p^{2}=-\hbar^{2}\frac{m\omega}{\hbar}\frac{d^{2}}{d\xi^{2}}=-\hbar m\omega\frac{d^{2}}{d\xi^{2}}.Logo \langle p^{2}\rangle=-\hbar m\omega\int_{-\infty}^{\infty}\psi^{*}(\xi)\frac{d^{2}}{d\xi^{2}}\psi(\xi)\,dx.E como dx=\sqrt{\dfrac{\hbar}{m\omega}}\,d\xi e \alpha^{2}dx=\dfrac{1}{\sqrt{\pi}}d\xi, usarei essas simplificações quando preciso.

Passo 10

Cálculo de \langle p^{2}\rangle para \psi_{0} explicitamente.
  • Primeiro calcule as derivadas em \xi. Para \psi_{0}(\xi)=\alpha e^{-\xi^{2}/2}: \frac{d\psi_{0}}{d\xi}=\alpha(-\xi)e^{-\xi^{2}/2},\qquad \frac{d^{2}\psi_{0}}{d\xi^{2}}=\alpha(\xi^{2}-1)e^{-\xi^{2}/2}.
  • Então o integrando \psi_{0}^{*}\dfrac{d^{2}\psi_{0}}{d\xi^{2}}=\alpha^{2}(\xi^{2}-1)e^{-\xi^{2}}.
    Assim \langle p^{2}\rangle_{0}=-\hbar m\omega\int_{-\infty}^{\infty}\alpha^{2}(\xi^{2}-1)e^{-\xi^{2}}dx.Usando \alpha^{2}dx=\dfrac{1}{\sqrt{\pi}}d\xi, \langle p^{2}\rangle_{0}=-\hbar m\omega\cdot\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}(\xi^{2}-1)e^{-\xi^{2}}d\xi.
  • Troco o sinal dentro da integral para somar quantidades positivas: \langle p^{2}\rangle_{0}=\hbar m\omega\cdot\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}(1-\xi^{2})e^{-\xi^{2}}d\xi.Usando \int e^{-\xi^{2}}d\xi=\sqrt{\pi} e \int\xi^{2}e^{-\xi^{2}}d\xi=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}, \langle p^{2}\rangle_{0}=\hbar m\omega\cdot\frac{1}{\sqrt{\pi}}\left(\sqrt{\pi}-\frac{\sqrt{\pi}}{2}\right)=\hbar m\omega\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\hbar m\omega.

Passo 11

Cálculo de \langle p^{2}\rangle para \psi_{1} explicitamente.
  • Para \psi_{1}(\xi)=\alpha\sqrt{2}\,\xi e^{-\xi^{2}/2}, calcule derivadas: \frac{d\psi_{1}}{d\xi}=\alpha\sqrt{2}(1-\xi^{2})e^{-\xi^{2}/2},
\frac{d^{2}\psi_{1}}{d\xi^{2}}=\alpha\sqrt{2}\,\xi(\xi^{2}-3)e^{-\xi^{2}/2}.
(Mostro rapidamente: derivar \xi e^{-\xi^{2}/2} e aplicar produto/chain rule.)
  • Então o produto \psi_{1}^{*}\dfrac{d^{2}\psi_{1}}{d\xi^{2}}=2\alpha^{2}\xi^{2}(\xi^{2}-3)e^{-\xi^{2}}.
  • Inserindo em \langle p^{2}\rangle: \langle p^{2}\rangle_{1}=-\hbar m\omega\int_{-\infty}^{\infty}2\alpha^{2}\xi^{2}(\xi^{2}-3)e^{-\xi^{2}}dx.Com \alpha^{2}dx=\dfrac{1}{\sqrt{\pi}}d\xi, \langle p^{2}\rangle_{1}=-\hbar m\omega\cdot\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\xi^{2}(\xi^{2}-3)e^{-\xi^{2}}d\xi.
  • Calculo a integral: \int_{-\infty}^{\infty}\xi^{2}(\xi^{2}-3)e^{-\xi^{2}}d\xi =\int_{-\infty}^{\infty}(\xi^{4}-3\xi^{2})e^{-\xi^{2}}d\xi =\frac{3\sqrt{\pi}}{4}-3\cdot\frac{\sqrt{\pi}}{2}=-\frac{3\sqrt{\pi}}{4}.
  • Substituindo: \langle p^{2}\rangle_{1}=-\hbar m\omega\cdot\frac{2}{\sqrt{\pi}}\cdot\left(-\frac{3\sqrt{\pi}}{4}\right) =\hbar m\omega\cdot\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\hbar m\omega.
  • Comentário físico: novamente isso coincide com a relação \langle p^{2}\rangle_{n}=m\hbar\omega\left(n+\tfrac{1}{2}\right).

Passo 12

Resumo lógico e interpretação (rápida motivação para memorização):
  • Para ambos os estados \langle x\rangle=0 e \langle p\rangle=0 por paridade.
  • Os resultados para \langle x^{2}\rangle e \langle p^{2}\rangle seguem a regra geral para os autovalores do oscilador harmônico: \langle x^{2}\rangle_{n}=\left(n+\tfrac{1}{2}\right)\frac{\hbar}{m\omega},\qquad \langle p^{2}\rangle_{n}=\left(n+\tfrac{1}{2}\right)\hbar m\omega.Para n=0 e n=1 dá os números que obtivemos explicitamente.

Resposta

\psi_{0}:\\ \langle x\rangle=0
\psi_{0}:\\ \langle x^{2}\rangle=\dfrac{\hbar}{2m\omega}
\psi_{0}:\\ \langle p\rangle=0
\psi_{0}:\\ \langle p^{2}\rangle=\dfrac{1}{2}\hbar m\omega
\psi_{1}:\\ \langle x\rangle=0
\psi_{1}:\\ \langle x^{2}\rangle=\dfrac{3}{2}\dfrac{\hbar}{m\omega}
\psi_{1}:\\ \langle p\rangle=0
\psi_{1}:\\ \langle p^{2}\rangle=\dfrac{3}{2}\hbar m\omega

Exercícios relacionados