Calcule
para os estados
e
por integração explicita. Dica! Em problemas envolvendo o oscilador harmônico, introduzir a variável
e a constante
torna as coisas mais simples.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Estados fornecidos:
- Dica/variáveis úteis (vou usar exatamente isso):
- O que é pedido: calcular por integração explícita (para cada estado) os valores de
- Observações importantes tiradas do enunciado (não vou assumir nada além disso ao resolver):
- Os integrandos envolvem Gaussianas; usar
simplifica as integrais. -
precisa ser determinado pela normalização (ou observado que para a função usual).
- Os integrandos envolvem Gaussianas; usar
A partir do Passo 2 começo as integrações e explicações passo a passo.
Passo 2
Primeira tarefa: ajustar notação e expressar
e
em termos de
e
.
- Substituindo
e : Para note que . Assim - Relação entre
e :
Vou usar essas formas para transformar todas as integrais em integrais em
com fatores simples.
Passo 3
Normalização de
(determinar
). Explico o procedimento de normalização: exigir
.
Para
já é conhecida normalizada (padrão), mas verifico a forma útil:
- Cálculo auxiliar:
. - Note que
Agora normalize
:
Substituindo
,
Usar a integral padrão (vou justificar/mostrar logo):
. Assim
Logo
. Podemos então escolher
(a fase real não altera expectativas). A partir daqui tomo
.
Passo 4
Lembrar/mostrar as integrais gaussianas básicas que vou usar repetidamente:
- Integral básica:
- Momento de ordem 2:
(pode-se obter por diferenciação da integral gaussiana ou por simetria e mudança de variável). - Momento de ordem 4:
(mais geral: .)
Vou usar essas três constantemente.
Passo 5
Cálculo de
para
.
- Definição:
- Para
: é par (função par de ), enquanto é ímpar. Produto par × ímpar é ímpar, e a integral de uma função ímpar em é zero. Portanto - Comentário didático: esse é um argumento de paridade; evita cálculo explícito e é totalmente rigoroso.
Passo 6
Cálculo de
para
por integração explícita.
- Escrevo a integral em
: Substituo e . Mas mais direto: usando , - Usando
,
Passo 7
Cálculo de
e
para
.
- Paridade:
é função ímpar. Então é par. Assim: é integral de uma função ímpar (par × ímpar) e vale zero: - Agora
. Escrevo explicitamente: Com (já com ), temos . Usando e , - Usando
, - Observação física rápida (ajuda de memorização): para o oscilador harmônico
. Para dá e para dá , como obtivemos.
Passo 8
Introduzir o operador momento e discutir
.
- Operador momento (na representação
): - Expectation:
- Paridade/realidade: as funções
e dadas podem ser tomadas reais (escolhemos real). Para uma função real, é uma função ímpar se tem paridade definida (produto de paridade): mais simples, uma combinação de argumentos de paridade mostra que é nulo para estados com paridade definida (porque integrando uma função ímpar sobre todo o eixo dá zero). Portanto - Se quiser, poderia integrar explicitamente e ver cancelamento; o argumento de paridade é mais rápido e totalmente rigoroso.
Passo 9
Cálculo explícito de
usando a representação diferencial (faço para
e
).
- Operador:
- Mudar derivadas para a variável
. Como , Assim Logo E como e , usarei essas simplificações quando preciso.
Passo 10
Cálculo de
para
explicitamente.
- Primeiro calcule as derivadas em
. Para : - Então o integrando
.
AssimUsando , - Troco o sinal dentro da integral para somar quantidades positivas:
Usando e ,
Passo 11
Cálculo de
para
explicitamente.
- Para
, calcule derivadas:
(Mostro rapidamente: derivar
e aplicar produto/chain rule.)
- Então o produto
. - Inserindo em
: Com , - Calculo a integral:
- Substituindo:
- Comentário físico: novamente isso coincide com a relação
.
Passo 12
Resumo lógico e interpretação (rápida motivação para memorização):
- Para ambos os estados
e por paridade. - Os resultados para
e seguem a regra geral para os autovalores do oscilador harmônico: Para e dá os números que obtivemos explicitamente.