Considere o sistema da questão 3 com PSF gaussiana normalizada de parâmetro
. A entrada é
Determine a expressão de
para
.
Passo 1
O enunciado nos dá:
- A entrada
. - A PSF é uma gaussiana bidimensional normalizada com parâmetro
(ou seja, integra ).
O que se pede: - Determinar a expressão da saída
do sistema para .
Passo 2
Entender o que significa “PSF gaussiana normalizada”. A PSF bidimensional é a função
que satisfaz
.
Isto significa que a resposta ao impulso do sistema integra 1, logo a convolução com uma constante retórna a mesma constante (a gaussiana preserva o nível médio).
Isto significa que a resposta ao impulso do sistema integra 1, logo a convolução com uma constante retórna a mesma constante (a gaussiana preserva o nível médio).
Passo 3
Escrever
como convolução:
Pelo princípio da linearidade da convolução, escrever
como soma e tratar cada termo separadamente:
Passo 4
Convolução do termo constante. Como
é normalizada (integra 1),
Portanto o termo constante não é alterado.
Passo 5
Tratar o termo senoidal. Note que
depende apenas de
. A gaussiana é separável:
e
. Assim a convolução em
não altera a função (integra 1) e resta a convolução unidimensional em
:
Passo 6
Calcular a convolução 1D explicitamente usando simetria. Seja
. Tem-se
Usando a identidade
e o fato de que
é função par (logo
), obtemos
Passo 7
Avaliar o integral
. Usar a fórmula padrão da transformada de Fourier da gaussiana:
Portanto a convolução do seno pela gaussiana resulta em atenuar a amplitude por esse fator exponencial:
Passo 8
Substituir
e reunir os termos. Assim, para qualquer
,
Esta é a expressão geral.
Passo 9
Agora avaliar para o valor pedido
(decimal com vírgula, ou seja
). Primeiro calcular
e
Logo o fator exponencial é
Multiplicando pela amplitude
dá
.
Resposta
Para