Considere o sistema da questão 3 com PSF gaussiana normalizada de parâmetro \sigma. A entrada é
f(x, y)=4+3 \operatorname{sen}(3 \pi x)
Determine a expressão de g(x, y) para \sigma=0,1.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • A entrada f(x,y)=4+3\operatorname{sen}(3\pi x).
  • A PSF é uma gaussiana bidimensional normalizada com parâmetro \sigma (ou seja, integra 1).
    O que se pede:
  • Determinar a expressão da saída g(x,y) do sistema para \sigma=0,1.

Passo 2

Entender o que significa “PSF gaussiana normalizada”. A PSF bidimensional é a função
h(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma^{2}}\exp\!\bigg(-\frac{x^{2}+y^{2}}{2\sigma^{2}}\bigg),
que satisfaz \iint_{\mathbb{R}^{2}}h(x,y)\,dx\,dy=1.
Isto significa que a resposta ao impulso do sistema integra 1, logo a convolução com uma constante retórna a mesma constante (a gaussiana preserva o nível médio).

Passo 3

Escrever g como convolução:
g(x,y)=(f*h)(x,y).
Pelo princípio da linearidade da convolução, escrever f como soma e tratar cada termo separadamente:
g(x,y)=\big(4*h\big)(x,y)+\big(3\operatorname{sen}(3\pi x)*h\big)(x,y).

Passo 4

Convolução do termo constante. Como h é normalizada (integra 1),
\big(4*h\big)(x,y)=4\cdot\iint h(u,v)\,du\,dv=4.
Portanto o termo constante não é alterado.

Passo 5

Tratar o termo senoidal. Note que \operatorname{sen}(3\pi x) depende apenas de x. A gaussiana é separável:
h(x,y)=h_x(x)\,h_y(y),\qquad h_x(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\exp\!\bigg(-\frac{x^{2}}{2\sigma^{2}}\bigg),
e \int h_y(y)\,dy=1. Assim a convolução em y não altera a função (integra 1) e resta a convolução unidimensional em x:
\big(\operatorname{sen}(3\pi x)*h\big)(x,y)=\big(\operatorname{sen}(3\pi x)*h_x\big)(x).

Passo 6

Calcular a convolução 1D explicitamente usando simetria. Seja k=3\pi. Tem-se
\big(\operatorname{sen}(k x)*h_x\big)(x)=\int_{-\infty}^{\infty}\operatorname{sen}\big(k(x-u)\big)h_x(u)\,du.
Usando a identidade \operatorname{sen}(k(x-u))=\operatorname{sen}(kx)\cos(ku)-\cos(kx)\operatorname{sen}(ku) e o fato de que h_x é função par (logo \int \operatorname{sen}(ku)h_x(u)\,du=0), obtemos
\big(\operatorname{sen}(k x)*h_x\big)(x)=\operatorname{sen}(kx)\int_{-\infty}^{\infty}\cos(ku)\,h_x(u)\,du.

Passo 7

Avaliar o integral \int \cos(ku)\,h_x(u)\,du. Usar a fórmula padrão da transformada de Fourier da gaussiana:
\int_{-\infty}^{\infty}\cos(ku)\,\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-u^{2}/(2\sigma^{2})}\,du=e^{-\frac{\sigma^{2}k^{2}}{2}}.
Portanto a convolução do seno pela gaussiana resulta em atenuar a amplitude por esse fator exponencial:
\big(\operatorname{sen}(k x)*h_x\big)(x)=e^{-\frac{\sigma^{2}k^{2}}{2}}\operatorname{sen}(kx).

Passo 8

Substituir k=3\pi e reunir os termos. Assim, para qualquer \sigma,
g(x,y)=4+3\,e^{-\frac{\sigma^{2}(3\pi)^{2}}{2}}\operatorname{sen}(3\pi x).
Esta é a expressão geral.

Passo 9

Agora avaliar para o valor pedido \sigma=0,1 (decimal com vírgula, ou seja \sigma=0,1). Primeiro calcular \sigma^{2}=(0,1)^{2}=0,01 e
\frac{\sigma^{2}(3\pi)^{2}}{2}=\frac{0,01\cdot 9\pi^{2}}{2}=0,045\pi^{2}\approx0,444132\ldots
Logo o fator exponencial é
e^{-0,045\pi^{2}}\approx e^{-0,444132}\approx0,641.
Multiplicando pela amplitude 3 3\cdot0,641\approx1,923.

Resposta

g(x,y)=4+3\,e^{-\frac{\sigma^{2}(3\pi)^{2}}{2}}\operatorname{sen}(3\pi x)\n
Para \sigma=0,1: g(x,y)\approx 4+1,923\,\operatorname{sen}(3\pi x)

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