Considere um sistema contínuo 2D cuja PSF é a gaussiana normalizada
em que
. Calcule a
do sistema.
Passo 1
O enunciado nos dá a função de espalhamento pontual (PSF) bidimensional normalizada
com
. A pergunta é: calcular a função de transferência de modulação
do sistema.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
-
é uma gaussiana 2D isotrópica e está normalizada (integral igual a ). -
é o desvio padrão espacial da gaussiana (medida da largura do PSF). - Precisa-se da
, função do (possível) argumento escalar de frequência espacial.
Passo 2
Definição e convenção de Fourier que vou usar (importante para o resultado numérico/exponencial): tomo a transformada de Fourier bidimensional com a convenção em ciclos por unidade de comprimento,
Para um sistema linear e invariante por deslocamentos a
é
e a
é o módulo desta:
Como
é real e não negativa e sua transformada será real positiva (por simetria), teremos
(sem módulo alterar o sinal). Vou também usar a dependência radial quando escrever
com
.
Passo 3
Observação de separabilidade e redução para 1D: a gaussiana 2D pode ser escrita como produto de duas gaussianas 1D idênticas:
Pela separabilidade, a transformada 2D factoriza:
onde, por simetria,
. Vou calcular
(o cálculo para
é análogo).
Passo 4
Cálculo da transformada 1D da gaussiana (passo a passo). Defino
Para resolver essa integral, uso completar quadrado no expoente. Escrevo o expoente como
Agora completo o quadrado:
. Logo
Note que
(porque
). Assim a parte independente de
é
Então a integral fica (fazendo a mudança de variável
, que desloca o caminho de integração mas não altera o valor da integral gaussiana)
A integral restante é a integral da gaussiana normalizada sem o fator de normalização:
Cancelando com o prefator, obtemos
Passo 5
Como
e
, temos
Definindo a frequência radial
, a OTF depende apenas de
:
Como
é real e positivo, a
é igual a
. Portanto
Breve interpretação prática: quanto maior
(PSF mais ampla), mais rapidamente a
cai com
— ou seja, o sistema perde contraste em altas frequências.