Considere um sistema contínuo 2D cuja PSF é a gaussiana normalizada
h(x, y)=\frac{1}{2 \pi \sigma^{2}} \exp \left(-\frac{x^{2}+y^{2}}{2 \sigma^{2}}\right),
em que
\sigma>0. Calcule a
\operatorname{MTF}(u) do sistema.

Passo 1

O enunciado nos dá a função de espalhamento pontual (PSF) bidimensional normalizada
h(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma^{2}}\exp\!\left(-\frac{x^{2}+y^{2}}{2\sigma^{2}}\right),
com \sigma>0. A pergunta é: calcular a função de transferência de modulação \operatorname{MTF}(u) do sistema.
Informações relevantes dadas:
  • h(x,y) é uma gaussiana 2D isotrópica e está normalizada (integral igual a 1).
  • \sigma é o desvio padrão espacial da gaussiana (medida da largura do PSF).
  • Precisa-se da \operatorname{MTF}(u), função do (possível) argumento escalar u de frequência espacial.

Passo 2

Definição e convenção de Fourier que vou usar (importante para o resultado numérico/exponencial): tomo a transformada de Fourier bidimensional com a convenção em ciclos por unidade de comprimento,
H(u_x,u_y)=\iint_{\mathbb{R}^2} h(x,y)\,e^{-2\pi i (u_x x + u_y y)}\,dx\,dy.
Para um sistema linear e invariante por deslocamentos a \operatorname{OTF} é H(u_x,u_y) e a \operatorname{MTF} é o módulo desta:
\operatorname{MTF}(u_x,u_y)=|H(u_x,u_y)|.
Como h é real e não negativa e sua transformada será real positiva (por simetria), teremos \operatorname{MTF}=H (sem módulo alterar o sinal). Vou também usar a dependência radial quando escrever \operatorname{MTF}(u) com u=\sqrt{u_x^2+u_y^2}.

Passo 3

Observação de separabilidade e redução para 1D: a gaussiana 2D pode ser escrita como produto de duas gaussianas 1D idênticas:
h(x,y)=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-x^{2}/(2\sigma^{2})}\right)\!\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-y^{2}/(2\sigma^{2})}\right).
Pela separabilidade, a transformada 2D factoriza:
H(u_x,u_y)=H_x(u_x)\,H_y(u_y),
onde, por simetria, H_x=H_y. Vou calcular H_x(u_x) (o cálculo para y é análogo).

Passo 4

Cálculo da transformada 1D da gaussiana (passo a passo). Defino
H_x(u_x)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\!\left(-\frac{x^{2}}{2\sigma^{2}}\right)e^{-2\pi i u_x x}\,dx.
Para resolver essa integral, uso completar quadrado no expoente. Escrevo o expoente como
-\frac{x^{2}}{2\sigma^{2}}-2\pi i u_x x = -\frac{1}{2\sigma^{2}}\Big(x^{2}+4\pi i \sigma^{2} u_x x\Big).
Agora completo o quadrado: x^{2}+4\pi i \sigma^{2} u_x x=(x+2\pi i \sigma^{2} u_x)^{2}-(2\pi i \sigma^{2} u_x)^{2}. Logo
-\frac{x^{2}}{2\sigma^{2}}-2\pi i u_x x = -\frac{(x+2\pi i \sigma^{2} u_x)^{2}}{2\sigma^{2}} \;+\; \frac{(2\pi i \sigma^{2} u_x)^{2}}{2\sigma^{2}}.
Note que (2\pi i \sigma^{2} u_x)^{2} = -4\pi^{2}\sigma^{4} u_x^{2} (porque i^{2}=-1). Assim a parte independente de x é
\frac{(2\pi i \sigma^{2} u_x)^{2}}{2\sigma^{2}} = \frac{-4\pi^{2}\sigma^{4} u_x^{2}}{2\sigma^{2}} = -2\pi^{2}\sigma^{2} u_x^{2}.
Então a integral fica (fazendo a mudança de variável t=x+2\pi i\sigma^{2}u_x, que desloca o caminho de integração mas não altera o valor da integral gaussiana)
H_x(u_x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\,e^{-2\pi^{2}\sigma^{2} u_x^{2}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp\!\left(-\frac{t^{2}}{2\sigma^{2}}\right)\,dt.
A integral restante é a integral da gaussiana normalizada sem o fator de normalização:
\int_{-\infty}^{\infty} \exp\!\left(-\frac{t^{2}}{2\sigma^{2}}\right)\,dt = \sqrt{2\pi}\,\sigma.
Cancelando com o prefator, obtemos
H_x(u_x)=e^{-2\pi^{2}\sigma^{2} u_x^{2}}.

Passo 5

Como H(u_x,u_y)=H_x(u_x)H_y(u_y) e H_x=H_y, temos
H(u_x,u_y)=\exp\!\big(-2\pi^{2}\sigma^{2} (u_x^{2}+u_y^{2})\big).
Definindo a frequência radial u=\sqrt{u_x^{2}+u_y^{2}}, a OTF depende apenas de u:
H(u)=\exp\!\big(-2\pi^{2}\sigma^{2} u^{2}\big).
Como H é real e positivo, a \operatorname{MTF} é igual a H. Portanto
\operatorname{MTF}(u)=\exp\!\big(-2\pi^{2}\sigma^{2} u^{2}\big).
Breve interpretação prática: quanto maior \sigma (PSF mais ampla), mais rapidamente a \operatorname{MTF} cai com u — ou seja, o sistema perde contraste em altas frequências.

Resposta

\operatorname{MTF}(u)=\exp\!\big(-2\pi^{2}\sigma^{2} u^{2}\big)

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