Resolva as inequações seguintes, em mathbb{R}.
\frac{x+1}{|2 x-1|} \leqslant 2

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em \mathbb{R}, a inequação
\frac{x+1}{|2x-1|} \leqslant 2.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão é uma razão com valor absoluto no denominador: o denominador é |2x-1|.
  • Deve-se considerar todos os x\in\mathbb{R} para os quais a expressão está bem definida (ou seja, onde o denominador não é zero).
  • A pergunta é: encontrar todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem a inequação \dfrac{x+1}{|2x-1|} \leqslant 2.

Passo 2

Estratégia e observações úteis (aulas rápidas):
  • O valor absoluto |2x-1|\) é definido como \[|2x-1| = \begin{cases} 2x-1, & \text{se }2x-1\ge 0\\ (\text{ou seja }x\ge\tfrac{1}{2}),\\[4pt] -(2x-1)=1-2x, & \text{se }2x-1<0\\ (\text{ou seja }x<\tfrac{1}{2}). \end{cases}
Portanto, para resolver a inequação vamos estudar separadamente os dois intervalos x<\tfrac{1}{2}\] e \(x>\tfrac{1}{2} (e examinar o ponto x=\tfrac{1}{2}).
  • Domínio: a expressão não está definida se |2x-1|=0, ou seja em x=\tfrac{1}{2}. Logo x=\tfrac{1}{2} deve ser excluído.
  • Quando, numa inequação, se multiplica ambos os lados por uma quantidade sempre positiva, a desigualdade mantém o mesmo sentido. Aqui |2x-1|>0 para todo x\neq\tfrac{1}{2}, então em cada caso (com substituição do valor absoluto) podemos multiplicar sem trocar o sinal da desigualdade.]

Passo 3

Caso x>\tfrac{1}{2} (ou seja 2x-1>0). Aqui |2x-1|=2x-1. Substituindo na inequação:
\frac{x+1}{2x-1} \leqslant 2.
Como 2x-1>0, multiplicamos ambos os lados por 2x-1 sem mudar o sinal:
x+1 \leqslant 2(2x-1).
Agora desenvolvemos e isolamos x:
x+1 \leqslant 4x-2.
Passamos x para o lado direito e os números para o lado esquerdo:
1+2 \leqslant 4x-x,
3 \leqslant 3x.
Dividindo por 3>0:
1 \leqslant x,
ou seja x\ge 1. Lembrando a condição do caso, a solução válida neste caso é
x\in[1,\infty).
(O ponto x=\tfrac{1}{2} foi automaticamente excluído porque estamos em x>\tfrac{1}{2}.)

Passo 4

Caso x<\tfrac{1}{2} (ou seja 2x-1<0). Aqui |2x-1|=1-2x. Substituindo:
\frac{x+1}{1-2x} \leqslant 2.
Como 1-2x>0 neste caso, multiplicamos ambos os lados por 1-2x sem trocar o sinal:
x+1 \leqslant 2(1-2x).
Desenvolvendo e isolando x:
x+1 \leqslant 2-4x,
x+4x \leqslant 2-1,
5x \leqslant 1.
Dividindo por 5>0:
x \leqslant \tfrac{1}{5}.
Juntando com a condição do caso x<\tfrac{1}{2}, obtemos
x \in (-\infty,\tfrac{1}{5}].

Passo 5

União das soluções dos dois casos e verificação de pontos críticos:
  • Do Passo 3 veio x\in[1,\infty).
  • Do Passo 4 veio x\in(-\infty,\tfrac{1}{5}].
  • O ponto x=\tfrac{1}{2} está excluído (denominador zero), e entre \tfrac{1}{5} e 1 (exceto possivelmente \tfrac{1}{2}) a inequação não é satisfeita (por exemplo x=0{,}3 ou x=0{,}8 não cumprem a desigualdade, o que confirma a lacuna).
    Portanto a solução total é a união
(-\infty,\tfrac{1}{5}] \\ \cup\\ [1,\infty).

Resposta

(-\infty,\tfrac{1}{5}] \cup [1,\infty)

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