Resolva as inequações seguintes, em
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver, em
, a inequação
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão é uma razão com valor absoluto no denominador: o denominador é
. - Deve-se considerar todos os
para os quais a expressão está bem definida (ou seja, onde o denominador não é zero). - A pergunta é: encontrar todos os
que satisfazem a inequação .
Passo 2
Estratégia e observações úteis (aulas rápidas):
- O valor absoluto
Portanto, para resolver a inequação vamos estudar separadamente os dois intervalos
(e examinar o ponto
).
- Domínio: a expressão não está definida se
, ou seja em . Logo deve ser excluído. - Quando, numa inequação, se multiplica ambos os lados por uma quantidade sempre positiva, a desigualdade mantém o mesmo sentido. Aqui
para todo , então em cada caso (com substituição do valor absoluto) podemos multiplicar sem trocar o sinal da desigualdade.]
Passo 3
Caso
(ou seja
). Aqui
. Substituindo na inequação:
Como
, multiplicamos ambos os lados por
sem mudar o sinal:
Agora desenvolvemos e isolamos
:
Passamos
para o lado direito e os números para o lado esquerdo:
Dividindo por
:
ou seja
. Lembrando a condição do caso, a solução válida neste caso é
(O ponto
foi automaticamente excluído porque estamos em
.)
Passo 4
Caso
(ou seja
). Aqui
. Substituindo:
Como
neste caso, multiplicamos ambos os lados por
sem trocar o sinal:
Desenvolvendo e isolando
:
Dividindo por
:
Juntando com a condição do caso
, obtemos
Passo 5
União das soluções dos dois casos e verificação de pontos críticos:
- Do Passo 3 veio
. - Do Passo 4 veio
. - O ponto
está excluído (denominador zero), e entre e (exceto possivelmente ) a inequação não é satisfeita (por exemplo ou não cumprem a desigualdade, o que confirma a lacuna).
Portanto a solução total é a união