Para \sigma=0,20 \mathrm{~mm}, calcule a MTF
\operatorname{MTF}(u)=\exp \left(-2 \pi^{2} \sigma^{2} u^{2}\right)
nos valores u=0, u=0,5 \mathrm{~mm}^{-1} e u=1,0 \mathrm{~mm}^{-1}. Esboce o gráfico da MTF nas condições apresentadas.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos\n
  • Pede calcular a função \operatorname{MTF}(u) nos valores indicados e esboçar o gráfico.
  • A função dada é
\operatorname{MTF}(u)=\exp\!\left(-2\pi^{2}\sigma^{2}u^{2}\right).
  • Os dados do enunciado: \sigma=0{,}20\\ \mathrm{mm} e os valores de frequência espacial são u=0, u=0{,}5\\ \mathrm{mm}^{-1} e u=1{,}0\\ \mathrm{mm}^{-1}.

Passo 2

O que representa a fórmula e como vamos calcular passo a passo\n
  • Interpretação física e matemática da fórmula (explicação didática leve): a função \operatorname{MTF}(u) aqui é a Transformada de Modulação de um sistema cuja função de espalhamento pontual (PSF) é gaussiana com desvio padrão \sigma. É uma função que mede quanto contraste é preservado para uma determinada frequência espacial u.
  • Notas sobre as variáveis:
    • \sigma é o desvio padrão da PSF, em unidades de comprimento (aqui \mathrm{mm}).
    • u é a frequência espacial em \mathrm{mm}^{-1}.
    • O argumento do exponencial é sempre negativo ou zero, por isso \operatorname{MTF}(u) é um número entre 0 e 1, com máximo 1 em u=0.
  • Plano de cálculo: para cada u calculamos a=2\pi^{2}\sigma^{2}u^{2} e então \operatorname{MTF}(u)=\exp(-a). Vou mostrar os cálculos numéricos passo a passo usando aproximação decimal de \pi^{2}.

Passo 3

Cálculo preliminar de constantes úteis\n
  • Primeiro calculemos \sigma^{2}:
\sigma^{2}=(0{,}20\\ \mathrm{mm})^{2}=0{,}0400\\ \mathrm{mm}^{2}.
  • Valor numérico útil: \pi^{2}\approx 9{,}8696.
  • Assim a constante 2\pi^{2} vale aproximadamente
2\pi^{2}\approx 2\cdot 9{,}8696=19{,}7392.

Passo 4

Cálculo para u=0\n
  • Calcule a=2\pi^{2}\sigma^{2}u^{2} para u=0:
a=2\pi^{2}\sigma^{2}\cdot 0^{2}=0.
  • Portanto
\operatorname{MTF}(0)=\exp(0)=1.

Passo 5

Cálculo para u=0{,}5\\ \mathrm{mm}^{-1}\n
  • Primeiro u^{2}=(0{,}5)^{2}=0{,}25\\ \mathrm{mm}^{-2}.
  • Então \sigma^{2}u^{2}=0{,}0400\cdot 0{,}25=0{,}0100.
  • Agora a=2\pi^{2}\sigma^{2}u^{2}\approx 19{,}7392\cdot 0{,}0100=0{,}197392.
  • Finalmente
\operatorname{MTF}(0{,}5)=\exp\!\left(-0{,}197392\right)\approx 0{,}8209.
  • Interpretação curta: a 0{,}5\\ \mathrm{mm}^{-1} o contraste é preservado em cerca de 82\%.

Passo 6

Cálculo para u=1{,}0\\ \mathrm{mm}^{-1}\n
  • Primeiro u^{2}=(1{,}0)^{2}=1{,}00\\ \mathrm{mm}^{-2}.
  • Então \sigma^{2}u^{2}=0{,}0400\cdot 1{,}00=0{,}0400.
  • Agora a=2\pi^{2}\sigma^{2}u^{2}\approx 19{,}7392\cdot 0{,}0400=0{,}789568.
  • Finalmente
\operatorname{MTF}(1{,}0)=\exp\!\left(-0{,}789568\right)\approx 0{,}4538.
  • Interpretação curta: a 1{,}0\\ \mathrm{mm}^{-1} o contraste cai para cerca de 45\%.

Passo 7

Como esboçar o gráfico da MTF nas condições dadas (instrução passo a passo para desenhar à mão)\n
  • Tipo de curva: \operatorname{MTF}(u) é uma gaussiana em u (mais precisamente um decaimento do tipo \exp(-\text{const}\cdot u^{2})). É simétrica em torno de u=0, com máximo 1 em u=0 e decaimento monótono quando |u| aumenta.
  • Eixos: eixo horizontal u em \mathrm{mm}^{-1}, eixo vertical \operatorname{MTF} de 0 a 1.
  • Marcar pontos calculados: \bigl(0,\,1\bigr), \bigl(0{,}5,\,0{,}8209\bigr), \bigl(1{,}0,\,0{,}4538\bigr). Também é útil marcar u= -1{,}0 simetricamente se quiser o gráfico completo.
  • Curva: desenhar uma curva suave que passa por esses pontos, caindo rapidamente primeiro (entre 0 e 1{,}0) e aproximando-se de zero para frequências muito altas (mas nunca chegando a zero exatamente).
  • Dica prática: para um esboço rápido em prova, plote os três pontos e ligue-os com uma curva tipo “sino” cortada (somente a metade direita se desenhar u\ge 0). Coloque rótulos dos eixos e valores numéricos dos pontos para mostrar resposta clara.

Resposta

\operatorname{MTF}(0)=1
\operatorname{MTF}(0{,}5\\ \mathrm{mm}^{-1})\approx 0{,}8209
\operatorname{MTF}(1{,}0\\ \mathrm{mm}^{-1})\approx 0{,}4538

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