Encontre o menor inteiro positivo
da forma
, onde
e
são inteiros.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos o menor número inteiro positivo $ c $ que pode ser escrito na forma $ c = 22x + 55y $, onde $ x $ e $ y $ são inteiros. Estamos lidando com o conteúdo de combinações lineares e máximo divisor comum (MDC). Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar números como combinações de outros e encontrar o maior divisor comum entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa escrever $ c = 22x + 55y $. Aqui, $ c $ é uma combinação linear dos números 22 e 55, onde $ x $ e $ y $ são quaisquer números inteiros. Nosso objetivo é encontrar o menor valor positivo que $ c $ pode ter nessa forma.
Passo 3
Para encontrar o menor valor positivo de $ c $, precisamos determinar o máximo divisor comum (MDC) de 22 e 55. O MDC é o maior número que divide ambos sem deixar resto. Esse valor é importante porque ele nos dá o menor passo possível para combinar 22 e 55 de forma que resultem em um número positivo.
Passo 4
Vamos calcular o MDC de 22 e 55. Podemos usar o Algoritmo de Euclides para isso:
- Dividimos o maior número pelo menor: $ 55 \div 22 = 2 $ com resto 11.
- Agora, usamos 22 e 11: $ 22 \div 11 = 2 $ com resto 0.
- Quando o resto chega a 0, o divisor atual é o MDC. Portanto, $ MDC(22, 55) = 11 $.
Passo 5
Agora que sabemos que o MDC de 22 e 55 é 11, isso significa que o menor número positivo que podemos obter na forma $ c = 22x + 55y $ é exatamente esse MDC, ou seja, 11. Essa é a menor combinação positiva possível desses dois números.
Resposta
O menor inteiro positivo $ c $ da forma $ c = 22x + 55y $ é $ \boxed{11} $.