Encontre o menor inteiro positivo c da forma c=22 x+55 y, onde x e y são inteiros.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos o menor número inteiro positivo $ c $ que pode ser escrito na forma $ c = 22x + 55y $, onde $ x $ e $ y $ são inteiros. Estamos lidando com o conteúdo de combinações lineares e máximo divisor comum (MDC). Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar números como combinações de outros e encontrar o maior divisor comum entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa escrever $ c = 22x + 55y $. Aqui, $ c $ é uma combinação linear dos números 22 e 55, onde $ x $ e $ y $ são quaisquer números inteiros. Nosso objetivo é encontrar o menor valor positivo que $ c $ pode ter nessa forma.

Passo 3

Para encontrar o menor valor positivo de $ c $, precisamos determinar o máximo divisor comum (MDC) de 22 e 55. O MDC é o maior número que divide ambos sem deixar resto. Esse valor é importante porque ele nos dá o menor passo possível para combinar 22 e 55 de forma que resultem em um número positivo.

Passo 4

Vamos calcular o MDC de 22 e 55. Podemos usar o Algoritmo de Euclides para isso:
  1. Dividimos o maior número pelo menor: $ 55 \div 22 = 2 $ com resto 11.
  2. Agora, usamos 22 e 11: $ 22 \div 11 = 2 $ com resto 0.
  3. Quando o resto chega a 0, o divisor atual é o MDC. Portanto, $ MDC(22, 55) = 11 $.

Passo 5

Agora que sabemos que o MDC de 22 e 55 é 11, isso significa que o menor número positivo que podemos obter na forma $ c = 22x + 55y $ é exatamente esse MDC, ou seja, 11. Essa é a menor combinação positiva possível desses dois números.

Resposta

O menor inteiro positivo $ c $ da forma $ c = 22x + 55y $ é $ \boxed{11} $.

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