Considere um sistema solar composto por 5 planetas, cujas órbitas ao redor do seu Sol (massa Ms ) são elípticas.
(b) Qual é o momento angular do planeta P 2 no ponto em que ele está mais próximo do Sol (coordenadas R2 , periélio é e V2 , pereielio )? Considerando outros pontos da órbita do planeta, o momento angular é conservado? Por quê?
Considere agora que as excentricidades das elipses sejam pequenas, de modo que as órbitas possam ser aproximadas como circulares.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que a questão (b) pede:
– Queremos achar o momento angular do planeta P₂ bem no periélio (ou seja, quando ele está mais perto do Sol), usando as coordenadas é e é.
– Depois, precisamos dizer se o momento angular muda em outros pontos da órbita e explicar por quê.
Conteúdo: mecânica orbital, definição de momento angular e a equação de energia (vis‐viva). Vamos precisar também da expressão do raio no periélio e da equação de vis‐viva para achar é.

Passo 2

Definição básica: o momento angular é
L ;=; m, rtimes v
Como em órbitas de conicidade (elíptica) a velocidade no periélio é perpendicular ao vetor posição L ;=; m,r,v(quando rperp v) , o módulo fica bem simples:

Passo 3

Agora precisamos de rperi ;=; a,(1-e), e v^2 ;=; GMs!l(tfrac2r-tfrac1ar) no periélio.
  1. Raio no periélio de uma elipse:
vperi^2 =GMs!l(tfrac2a(1-e)-tfrac1ar) =GMs;1+ea(1-e)
onde vperi =raiz,GMs;1+ea(1-e), é o semi‐eixo maior e a excentricidade.
2) Velocidade no periélio vem da equação de vis‐viva:
Em , isso dá
Logo

Passo 4

Agora junta tudo em L = m;l[a(1-e)r]; raiz,GMs,1+ea(1-e), =;m;raiz,a(1-e),cdot,GMs,1+e,1,, =;m;raiz,GMs,a,(1-e^2),; :
boxedL2,peri ;=; m2,raiz,G,Ms,a2,(1-e2^2),
Então o momento angular de P₂ no periélio é
E quanto ao resto da órbita? Como a força gravitacional é sempre radial, o torque é zero. Logo
o momento angular se conserva em todos os pontos da órbita.

Passo 5

Se as excentricidades são pequenas ( Lrm circ = m,r,v = m,a;raiztfracGMsa = m,raiz,GMs,a, ), a órbita vira ~circular. Aí o tempo todo e

Resposta

L_{2,peri} = m_2\sqrt{,G,M_s,a_2,(1-e_2^2),}.
Sim, é conservado em todos os pontos pois a força é central (torque zero).
No caso circular ( ),

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