Considere um sistema solar composto por 5 planetas, cujas órbitas ao redor do seu Sol (massa
) são elípticas.
(b) Qual é o momento angular do planeta
no ponto em que ele está mais próximo do Sol (coordenadas
e
)? Considerando outros pontos da órbita do planeta, o momento angular é conservado? Por quê?
Considere agora que as excentricidades das elipses sejam pequenas, de modo que as órbitas possam ser aproximadas como circulares.
(b) Qual é o momento angular do planeta
Considere agora que as excentricidades das elipses sejam pequenas, de modo que as órbitas possam ser aproximadas como circulares.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que a questão (b) pede:
– Queremos achar o momento angular do planeta P₂ bem no periélio (ou seja, quando ele está mais perto do Sol), usando as coordenadas e
.
– Depois, precisamos dizer se o momento angular muda em outros pontos da órbita e explicar por quê.
Conteúdo: mecânica orbital, definição de momento angular e a equação de energia (vis‐viva). Vamos precisar também da expressão do raio no periélio e da equação de vis‐viva para achar
.
– Queremos achar o momento angular do planeta P₂ bem no periélio (ou seja, quando ele está mais perto do Sol), usando as coordenadas
– Depois, precisamos dizer se o momento angular muda em outros pontos da órbita e explicar por quê.
Conteúdo: mecânica orbital, definição de momento angular
Passo 2
Definição básica: o momento angular é
Como em órbitas de conicidade (elíptica) a velocidade no periélio é perpendicular ao vetor posição
, o módulo fica bem simples:
Passo 3
Agora precisamos de
e
no periélio.
- Raio no periélio de uma elipse:
onde
é o semi‐eixo maior e
a excentricidade.
2) Velocidade no periélio vem da equação de vis‐viva:
2) Velocidade no periélio vem da equação de vis‐viva:
Em
, isso dá
Logo
Passo 4
Agora junta tudo em
:
Então o momento angular de P₂ no periélio é
E quanto ao resto da órbita? Como a força gravitacional
é sempre radial, o torque
é zero. Logo
o momento angular se conserva em todos os pontos da órbita.
o momento angular se conserva em todos os pontos da órbita.
Passo 5
Se as excentricidades são pequenas (
), a órbita vira ~circular. Aí
o tempo todo e
Resposta
L_{2,peri} = m_2\sqrt{,G,M_s,a_2,(1-e_2^2),}.
Sim, é conservado em todos os pontos pois a força é central (torque zero).
No caso circular ( ),
Sim,
No caso circular (