Duas esferas, cada uma com massa
, distantes de
, orbitam em torno do centro de massa do sistema (formado pelas duas esferas). Determine:
(d) Mostre que os mesmos resultados para as velocidades são obtidos ao se considerar (1) a força gravitacional e (2) o teorema do Virial. (Você deve ter usado uma das duas formas nos itens acima e agora basta usar a outra.)
(d) Mostre que os mesmos resultados para as velocidades são obtidos ao se considerar (1) a força gravitacional e (2) o teorema do Virial. (Você deve ter usado uma das duas formas nos itens acima e agora basta usar a outra.)
Passo 1
Beleza, a gente tem duas esferas, cada uma com massa
, separadas por uma distância
, girando em torno do centro de massa. No item (d) a ideia é mostrar que, usando o teorema do Virial, a velocidade que a gente já encontrou antes (quando usou força gravitacional direta) continua sendo a mesma. Então precisaremos entender o que diz o teorema do Virial para um sistema ligado por gravidade e depois extrair a velocidade de cada esfera.
Passo 2
O que é o teorema do Virial?
Para um sistema ligado em órbita estável (como o nosso, de esferas em órbita circular), o teorema diz que, em média,
Para um sistema ligado em órbita estável (como o nosso, de esferas em órbita circular), o teorema diz que, em média,
onde
é a energia cinética total média e
é a energia potencial gravitacional total média. Num caso de órbita circular perfeita, podemos usar esses valores instantâneos como se fossem médias.
Passo 3
Vamos escrever essas energias para o nosso par de esferas:
- Energia cinética total: cada esfera tem
, então
- Energia potencial gravitacional:
Passo 4
Agora aplicamos o Virial:
Resposta
É exatamente o mesmo resultado que você já tinha obtido usando força gravitacional!