Duas esferas, cada uma com massa m, distantes de R, orbitam em torno do centro de massa do sistema (formado pelas duas esferas). Determine:
(d) Mostre que os mesmos resultados para as velocidades são obtidos ao se considerar (1) a força gravitacional e (2) o teorema do Virial. (Você deve ter usado uma das duas formas nos itens acima e agora basta usar a outra.)

Passo 1

Beleza, a gente tem duas esferas, cada uma com massa , separadas por uma distância , girando em torno do centro de massa. No item (d) a ideia é mostrar que, usando o teorema do Virial, a velocidade que a gente já encontrou antes (quando usou força gravitacional direta) continua sendo a mesma. Então precisaremos entender o que diz o teorema do Virial para um sistema ligado por gravidade e depois extrair a velocidade de cada esfera.

Passo 2

O que é o teorema do Virial?
Para um sistema ligado em órbita estável (como o nosso, de esferas em órbita circular), o teorema diz que, em média,
2lang<= Trang<= + lang<= Urang<= = 0,
onde é a energia cinética total média e é a energia potencial gravitacional total média. Num caso de órbita circular perfeita, podemos usar esses valores instantâneos como se fossem médias.

Passo 3

Vamos escrever essas energias para o nosso par de esferas:
  1. Energia cinética total: cada esfera tem T = 2 times 12 m v^2 = m,v^2 , então
  1. Energia potencial gravitacional:

Passo 4

Agora aplicamos o Virial:
2T + U = 0 ;Longrightarrow; 2l(m,v^2r) - G,m^2R = 0 ;Longrightarrow; 2m,v^2 = G,m^2R ;Longrightarrow; v^2 = G,m2R

Resposta

boxedv = raizG,m2R
É exatamente o mesmo resultado que você já tinha obtido usando força gravitacional!

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