Considere um sistema solar composto por 5 planetas, cujas órbitas ao redor do seu Sol (massa Ms ) são elípticas.
(a) Qual é a energia mecânica do planeta P 2, de massa M2, que está a uma distância R2 do Sol num dado instante de tempo e que tem velocidade V2 nesse mesmo instante? Há conservação dessa energia? Por quê?

Passo 1

Beleza! Então o enunciado diz que temos um sistema solar com 5 planetas girando em órbitas elípticas em torno de um Sol de massa . A parte (a) pede a energia mecânica do planeta (massa ) num dado instante em que ele está a uma distância do Sol e com velocidade . Aí perguntam também se essa energia se conserva e por quê.
Conteúdo que vamos usar:
  • Energia cinética ( )
  • Energia potencial gravitacional ( )
  • Conservação de energia mecânica em forças conservativas

Passo 2

Primeiro, a gente separa em cinética e potencial.
  1. Energia cinética:
K = tfrac12,M2,V2^2
Isso vem da definição de energia associada ao movimento: depende da massa e do quadrado da velocidade.
2) Energia potencial gravitacional:
U = -,G,Ms,M2R2
Aqui o “ E = K + U = tfrac12,M2,V2^2 ;-;G,Ms,M2R2 ” aparece porque a gravidade é atrativa e definimos o potencial zero no infinito. é a constante gravitacional.
A energia mecânica total é a soma:

Passo 3

Agora: será que essa energia se conserva?
– A força gravitacional é uma força conservativa, ou seja, o trabalho que ela faz só depende dos pontos inicial e final, não do caminho.
– Em ausência de outras forças (como atrito ou resistência do meio, que no espaço praticamente não tem), não há “perda” de energia.
Logo a energia mecânica que a gente calculou fica constante ao longo da órbita do planeta.

Resposta

E = tfrac12,M2,V2^2 ;-;G,Ms,M2R2,
e sim, essa energia mecânica se conserva, porque a gravidade é uma força conservativa.

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