Considere um sistema solar composto por 5 planetas, cujas órbitas ao redor do seu Sol (massa
) são elípticas.
(b) Qual é o momento angular do planeta
no ponto em que ele está mais próximo do Sol (coordenadas
e
)? Considerando outros pontos da órbita do planeta, o momento angular é conservado? Por quê?
Considere agora que as excentricidades das elipses sejam pequenas, de modo que as órbitas possam ser aproximadas como circulares.
© Mostre que o período de translação
de qualquer um dos planetas ao quadrado é proporcional à distância
do planeta ao Sol ao cubo.
(b) Qual é o momento angular do planeta
Considere agora que as excentricidades das elipses sejam pequenas, de modo que as órbitas possam ser aproximadas como circulares.
© Mostre que o período de translação
Passo 1
Beleza, então temos duas coisas pra resolver:
- (b) Calcular o momento angular do planeta P₂ no periélio, ou seja, no ponto mais perto do Sol, usando as coordenadas
e , e falar se o momento angular se conserva e por quê. - © Na aproximação de órbitas quase circulares, mostrar que o quadrado do período de translação
é proporcional ao cubo da distância ao Sol (isso é a terceira lei de Kepler).
Conteúdo: mecânica clássica, força central, momento angular, Lei da Gravitação Universal e órbita circular. Vamos precisar de:
- Definição de momento angular:
. - Propriedade de forças centrais (gravidade) que garantem conservação de
. - Condição de órbita circular: força centrípeta
= força gravitacional .
Passo 2
Calculando o momento angular no periélio.
Por definição, para uma partícula (planeta) de massa em posição
com velocidade
, o momento angular é
Por definição, para uma partícula (planeta) de massa
No periélio, o vetor posição
Passo 3
Conservação do momento angular.
A força gravitacional é uma força central, ou seja, aponta sempre na direção do vetor . O torque é
A força gravitacional é uma força central, ou seja, aponta sempre na direção do vetor
mas como
Passo 4
Derivando
para órbita circular.
- Na órbita circular, a força centrípeta
é fornecida pela gravidade :
2) Simplificandoe um fator , fica
- O período de translação é
. Substituindo :
4) Elevando ao quadrado:
o que mostra que
.
Resposta
(b) No periélio, o momento angular é
e ele se conserva em toda a órbita porque a força gravitacional é central (torque nulo).
© Para órbitas circulares, chega-se a
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.