Considere um sistema solar composto por 5 planetas, cujas órbitas ao redor do seu Sol (massa Ms ) são elípticas.
(b) Qual é o momento angular do planeta P 2 no ponto em que ele está mais próximo do Sol (coordenadas R2 , periélio é e V2 , pereielio )? Considerando outros pontos da órbita do planeta, o momento angular é conservado? Por quê?
Considere agora que as excentricidades das elipses sejam pequenas, de modo que as órbitas possam ser aproximadas como circulares.
© Mostre que o período de translação T de qualquer um dos planetas ao quadrado é proporcional à distância R do planeta ao Sol ao cubo.

Passo 1

Beleza, então temos duas coisas pra resolver:
  1. (b) Calcular o momento angular do planeta P₂ no periélio, ou seja, no ponto mais perto do Sol, usando as coordenadas R2,peri e V2,peri, e falar se o momento angular se conserva e por quê.
  2. © Na aproximação de órbitas quase circulares, mostrar que o quadrado do período de translação T^2 é proporcional ao cubo da distância ao Sol R^3 (isso é a terceira lei de Kepler).
Conteúdo: mecânica clássica, força central, momento angular, Lei da Gravitação Universal e órbita circular. Vamos precisar de:
  • Definição de momento angular: L = m, r times v.
  • Propriedade de forças centrais (gravidade) que garantem conservação de L.
  • Condição de órbita circular: força centrípeta m v^2/R = força gravitacional G Ms m/R^2.

Passo 2

Calculando o momento angular no periélio.
Por definição, para uma partícula (planeta) de massa m em posição r com velocidade v, o momento angular é
L = m, r times v,
No periélio, o vetor posição r (com módulo R2,peri) e a velocidade v (módulo V2,peri) são perpendiculares, então o módulo de L é
L = m,R2,peri,V2,peri,

Passo 3

Conservação do momento angular.
A força gravitacional é uma força central, ou seja, aponta sempre na direção do vetor r. O torque é
boldsymboltau = r times F,,
mas como Fparal<=l r, temos boldsymboltau= 0. Torque zero implica que L é constante ao longo da órbita. Logo, o momento angular se conserva em todos os pontos.

Passo 4

Derivando T^2propto R^3 para órbita circular.
  1. Na órbita circular, a força centrípeta m v^2/R é fornecida pela gravidade G Ms m/R^2: m v^2R = G Ms mR^2,
    2) Simplificando m e um fator R, fica
    v^2 = G MsR,
  2. O período de translação é T = dfraccircunferênciavelocidade = dfrac2pi Rvê. Substituindo v: T = 2pi RraizG Ms/R = 2pi,R^3/2raizG Ms,
    4) Elevando ao quadrado:
    T^2 = 4pi^2G Ms,R^3,,
o que mostra que T^2propto R^3.

Resposta

(b) No periélio, o momento angular é
L = m,R2,peri,V2,peri,,
e ele se conserva em toda a órbita porque a força gravitacional é central (torque nulo).
© Para órbitas circulares, chega-se a
T^2 = 4pi^2G Ms,R^3,,
logo T^2propto R^3,.

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