Duas capas esféricas concêntricas têm raios R1 e R2, e massas M1 e M2, respectivamente, sendo que R1. Use argumentos de simetria e calcule, em termos dos dados e da constante G da gravitação, a aceleração da gravidade para uma posição r sendo: r;
R1 e
r>R2.

Passo 1

Beleza, a questão fala de duas casquinhas (capas esféricas) concêntricas, com raios e e massas e . A gente tem que achar a aceleração da gravidade em três regiões:
  1. (dentro da casquinha menor)
  2. (entre as duas casquinhas)
  3. (fora das duas casquinhas)
Conteúdo envolvido: Teorema do invólucro esférico (ou “shell theorem”) de Newton e a Lei da Gravitação Universal, . Vamos usar que
  • Dentro de uma casca esférica a força gravitacional é zero.
  • Fora dela, parece que toda massa está concentrada no centro.

Passo 2

Primeiro, recapitular o shell theorem:
  1. Se você está em menor que o raio de uma casca esférica, a força resultante dessa casca é zero.
  2. Se você está em maior que o raio, a casca puxa como se toda sua massa estivesse no centro.
Isso vem da simetria perfeita da esfera: as contributions de cada pedaço de massa se cancelam quando você está dentro.

Passo 3

Caso 1: g(r) = 0 .
Você está dentro das duas casquinhas.
  • A casca de raio não puxa (é zero por dentro).
  • A casca de raio também não puxa (você está dentro dela também).
    Logo, a aceleração gravitacional total é

Passo 4

Caso 2: g(r) = G,M1r^2, .
Agora você está:
  • Fora da casca de raio , então ela puxa como se toda estivesse concentrada no centro.
  • Dentro da casca de raio , então essa não puxa nada.
A resultante é só da casca interna. Pela lei de Newton:
apontando em direção ao centro.

Passo 5

Caso 3: g(r) = G,M1 + M2r^2, .
Você está fora das duas cascas, então cada uma age como massa pontual no centro. Somando:
sempre apontando para o centro.

Resposta

g®=
• 0, se .
, se .
, se .

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