Duas capas esféricas concêntricas têm raios
e
, e massas
e
, respectivamente, sendo que
. Use argumentos de simetria e calcule, em termos dos dados e da constante
da gravitação, a aceleração da gravidade para uma posição
sendo:
;
e
.
Passo 1
Beleza, a questão fala de duas casquinhas (capas esféricas) concêntricas, com raios
e
e massas
e
. A gente tem que achar a aceleração da gravidade
em três regiões:
-
(dentro da casquinha menor) -
(entre as duas casquinhas) -
(fora das duas casquinhas)
Conteúdo envolvido: Teorema do invólucro esférico (ou “shell theorem”) de Newton e a Lei da Gravitação Universal,
. Vamos usar que
- Dentro de uma casca esférica a força gravitacional é zero.
- Fora dela, parece que toda massa está concentrada no centro.
Passo 2
Primeiro, recapitular o shell theorem:
- Se você está em
menor que o raio de uma casca esférica, a força resultante dessa casca é zero. - Se você está em
maior que o raio, a casca puxa como se toda sua massa estivesse no centro.
Isso vem da simetria perfeita da esfera: as contributions de cada pedaço de massa se cancelam quando você está dentro.
Passo 3
Caso 1:
.
Você está dentro das duas casquinhas.
Você está dentro das duas casquinhas.
- A casca de raio
não puxa (é zero por dentro). - A casca de raio
também não puxa (você está dentro dela também).
Logo, a aceleração gravitacional total é
Passo 4
Caso 2:
.
Agora você está:
Agora você está:
- Fora da casca de raio
, então ela puxa como se toda estivesse concentrada no centro. - Dentro da casca de raio
, então essa não puxa nada.
A resultante é só da casca interna. Pela lei de Newton:
apontando em direção ao centro.
Passo 5
Caso 3:
.
Você está fora das duas cascas, então cada uma age como massa pontual no centro. Somando:
Você está fora das duas cascas, então cada uma age como massa pontual no centro. Somando:
sempre apontando para o centro.
Resposta
g®=
• 0, se .
• , se
.
• , se
.
• 0, se
•
•