Considere um sistema solar composto por 5 planetas, cujas órbitas ao redor do seu Sol (massa Ms ) são elípticas.
(b) Qual é o momento angular do planeta P 2 no ponto em que ele está mais próximo do Sol (coordenadas R2 , periélio é e V2 , pereielio )? Considerando outros pontos da órbita do planeta, o momento angular é conservado? Por quê?
Considere agora que as excentricidades das elipses sejam pequenas, de modo que as órbitas possam ser aproximadas como circulares.
(d) Sabendo que o ano do planeta P 5 é 165 vezes maior do que o do planeta P 2 e que a distância do planeta P 2 ao Sol é 1UA (unidades astronômicas), calcule a distância do planeta P 5 até o Sol.

Passo 1

Opa! Então temos um sistema com 5 planetas em órbitas elípticas. A parte (b) pede o momento angular de um deles (o P₂) justo no periélio (o ponto mais perto do Sol), usando as coordenadas é e é. Aí também pergunta se esse momento angular muda em outros pontos da órbita e por quê.
Na parte (d) a gente simplifica tudo como se fosse órbita circular e usa a lei de Kepler (3ª lei) pra achar a distância do planeta P₅ ao Sol, sabendo que o ano dele é 165 vezes maior que o de P₂ e que P₂ está a 1 UA.
Conteúdo que vamos usar:
  • Definição de momento angular em movimentos centrais: .
  • Propriedade do campo gravitacional ser central (força radial) e torque zero, daí conservado.
  • Terceira lei de Kepler para órbitas circulares: .

Passo 2

Parte (b): achar o momento angular de P₂ no periélio.
  1. Teoria: o momento angular de uma partícula de massa L = m,rtimesv, é
L = m,r,v,sintheta,
e, em módulo,
L2,periélio = m2,R2,periélio,V2,periélio
onde é o ângulo entre e .
2) No periélio, o movimento é puramente tangencial (a componente radial da velocidade é zero), logo e .
3) Assim, no ponto mais próximo do Sol, o módulo do momento angular de P₂ fica
ééé
  1. Conservação? Como a força gravitacional é sempre radial, o torque é zero. Sem torque externo, permanece o mesmo em qualquer ponto da órbita.

Passo 3

Parte (d): distância do P₅ supondo órbitas circulares.
  1. A 3ª lei de Kepler diz que, para órbitas circulares de mesmo corpo central,
T5^2T2^2 ;=;r5^3r2^3
  1. Isolando r5 = r2,l(T5T2r)^2/3 :

Passo 4

Só botar os números: r5 = 1;UAtimes 165^2/3approx 165^0,6667;UA e , dá
Calculando rapidinho .

Resposta

(b)
L2,periélio = m2,R2,periélio,V2,periélio, ééé
e esse momento angular é constante em toda a órbita porque o torque gravitacional é zero.
(d)
r5 approx 30,1;UA

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