Considere um sistema solar composto por 5 planetas, cujas órbitas ao redor do seu Sol (massa
) são elípticas.
(b) Qual é o momento angular do planeta
no ponto em que ele está mais próximo do Sol (coordenadas
e
)? Considerando outros pontos da órbita do planeta, o momento angular é conservado? Por quê?
Considere agora que as excentricidades das elipses sejam pequenas, de modo que as órbitas possam ser aproximadas como circulares.
(d) Sabendo que o ano do planeta
é 165 vezes maior do que o do planeta
e que a distância do planeta
ao Sol é 1UA (unidades astronômicas), calcule a distância do planeta
até o Sol.
(b) Qual é o momento angular do planeta
Considere agora que as excentricidades das elipses sejam pequenas, de modo que as órbitas possam ser aproximadas como circulares.
(d) Sabendo que o ano do planeta
Passo 1
Opa! Então temos um sistema com 5 planetas em órbitas elípticas. A parte (b) pede o momento angular de um deles (o P₂) justo no periélio (o ponto mais perto do Sol), usando as coordenadas
e
. Aí também pergunta se esse momento angular muda em outros pontos da órbita e por quê.
Na parte (d) a gente simplifica tudo como se fosse órbita circular e usa a lei de Kepler (3ª lei) pra achar a distância do planeta P₅ ao Sol, sabendo que o ano dele é 165 vezes maior que o de P₂ e que P₂ está a 1 UA.
Conteúdo que vamos usar:
Na parte (d) a gente simplifica tudo como se fosse órbita circular e usa a lei de Kepler (3ª lei) pra achar a distância do planeta P₅ ao Sol, sabendo que o ano dele é 165 vezes maior que o de P₂ e que P₂ está a 1 UA.
Conteúdo que vamos usar:
- Definição de momento angular em movimentos centrais:
. - Propriedade do campo gravitacional ser central (força radial) e torque zero, daí
conservado. - Terceira lei de Kepler para órbitas circulares:
.
Passo 2
Parte (b): achar o momento angular de P₂ no periélio.
- Teoria: o momento angular de uma partícula de massa
é
e, em módulo,
onde
é o ângulo entre
e
.
2) No periélio, o movimento é puramente tangencial (a componente radial da velocidade é zero), logo e
.
3) Assim, no ponto mais próximo do Sol, o módulo do momento angular de P₂ fica
2) No periélio, o movimento é puramente tangencial (a componente radial da velocidade é zero), logo
3) Assim, no ponto mais próximo do Sol, o módulo do momento angular de P₂ fica
- Conservação? Como a força gravitacional
é sempre radial, o torque é zero. Sem torque externo, permanece o mesmo em qualquer ponto da órbita.
Passo 3
Parte (d): distância do P₅ supondo órbitas circulares.
- A 3ª lei de Kepler diz que, para órbitas circulares de mesmo corpo central,
- Isolando
:
Passo 4
Só botar os números:
e
, dá
Calculando rapidinho
.
Resposta
(b)
e esse momento angular é constante em toda a órbita porque o torque gravitacional é zero.
(d)