O que se pede:
(a) escrever o sistema na forma \,A x = b (ou seja, identificar o vetor \,b das constantes);
(b) montar o sistema normal \,A^{T}A x = A^{T} b;
(c) resolver o sistema normal e verificar que \,A^{T}A é simétrica definida positiva.]
Passo 2
(a) Montar o vetor b. As constantes das três equações são 2,3,5, portanto o vetor b é
b=\begin{pmatrix}2\\[4pt]3\\[4pt]5\end{pmatrix}.
Escrevendo explicitamente a forma matricial pedida:
A x = b,\qquad \left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\\\ 2 & 1 \\\\ 3 & 1 \end{array}\right) \binom{a}{b} = \begin{pmatrix}2\\[4pt]3\\[4pt]5\end{pmatrix}.
(Isto responde a parte (a).)]
Passo 3
(b) Derivação do sistema normal. Aqui tem uma ideia importante que vou explicar devagar e sem jargão: o sistema original tem mais equações do que incógnitas, então normalmente não existe x que satisfaça exatamente A x=b. O que se faz é buscar x que torne o erro \,r = A x - b o menor possível em norma quadrática, ou seja minimizar a função
f(x)=\|A x - b\|^{2} = (A x - b)^{T}(A x - b).
Para encontrar o mínimo, derivamos \,f (gradiente) e igualamos a zero. Calculando a derivada (a conta padrão em álgebra linear) chega-se a:
\frac{\partial f}{\partial x}=2A^{T}(A x - b)=0,
o que conduz às equações normais
A^{T}A x = A^{T} b.
Isto é o sistema normal pedido.
Passo 4
(c) Calcular explicitamente A^{T}A e A^{T}b. Primeiro a transposta de A é
é simétrica porque a entrada (1,2) é igual à (2,1).
Para verificar definida positividade (DP) há duas maneiras simples e convincentes:
Usando forma quadrática: para todo vetor não nulo y\in\mathbb{R}^{2},
y^{T}(A^{T}A)y=(Ay)^{T}(Ay)=\|Ay\|^{2}.
A norma quadrada \|Ay\|^{2} só é zero se Ay=0. Como as colunas de A são linearmente independentes (as colunas são \,(1,2,3)^{T} e \,(1,1,1)^{T} e não há escalações que as anulem simultaneamente), temos Ay\neq0 para todo y\neq0. Portanto \|Ay\|^{2}>0 para todo y\neq0, o que prova que A^{T}A é definida positiva.
Verificação numérica por menores principais (critério simples para matrizes 2\times2): o primeiro menor principal é 14>0 e o determinante é
Ambos positivos implicam que a matriz simétrica A^{T}A é definida positiva.
Portanto A^{T}A é simétrica definida positiva, como pedido.]
Resposta
(a) \displaystyle A x = b com \displaystyle b=\begin{pmatrix}2\\[4pt]3\\[4pt]5\end{pmatrix}.
(b) \displaystyle A^{T}A=\begin{pmatrix}14 & 6\\[4pt]6 & 3\end{pmatrix},\quad A^{T}b=\begin{pmatrix}23\\[4pt]10\end{pmatrix}, logo \displaystyle\begin{pmatrix}14 & 6\\[4pt]6 & 3\end{pmatrix}\binom{a}{b}=\binom{23}{10}.
(c) \displaystyle a=\tfrac{3}{2},\; b=\tfrac{1}{3}. Além disso \displaystyle A^{T}A é simétrica e definida positiva (por \|Ay\|^{2}>0 para todo y\neq0, ou pelos menores principais 14>0 e \det=6>0).]