Mini-aula curta: para duas matrizes compatíveis, o produto A^{T}A é uma matriz quadrada cujo elemento na linha i e coluna j é o produto interno da coluna i de A com a coluna j de A. Em notação:
\big(A^{T}A\big)_{ij}=c_i\cdot c_j.
Aqui isso é especialmente simples porque cada coluna tem apenas duas entradas.
Vamos calcular todos os produtos internos entre c_1,c_2,c_3:
Existe inversa? (critério e cálculo do determinante)
Mini-aula curta: uma matriz quadrada M tem inversa se e somente se \det(M)\neq 0. Outra observação útil: \operatorname{rank}(A^{T}A)=\operatorname{rank}(A), então se A não tem colunas linearmente independentes suficientes (aqui tem 3 colunas em apenas 2 dimensões), espera-se que A^{T}A seja singular (determinante zero).
Vamos calcular explicitamente o determinante de A^{T}A. Para
Como \det(A^{T}A)=0, a matriz é singular e, portanto, \left(A^{T}A\right)^{-1} não existe.]
Passo 4
Interpretação da singularidade e relação com o posto
Explicação didática: A tem apenas duas linhas, logo o posto máximo possível é 2. Como A efetivamente tem posto 2 (as duas linhas são linearmente independentes), \operatorname{rank}(A)=2. Para a matriz 3\times3A^{T}A isso implica \operatorname{rank}(A^{T}A)=2, ou seja, um autovalor será zero (multiplicidade pelo menos 1). Isso confirma que não há inversa.
Passo 5
Como achar os autovalores de A^{T}A de modo conveniente
Mini-aula curta: A^{T}A e AA^{T} têm os mesmos autovalores não nulos. Aqui AA^{T} é uma matriz 2\times2, então é mais fácil obter seus autovalores (são dois), e esses serão os dois autovalores não nulos de A^{T}A. O terceiro autovalor de A^{T}A será 0 por conta do posto 2.
Calculemos AA^{T}. As linhas de A são r_1=(1,1,1) e r_2=(1,2,3). Então
Esses dois valores são positivos (como esperado para AA^{T} e A^{T}A, que são semidefinidas positivas), e são exatamente os dois autovalores não nulos de A^{T}A. O terceiro autovalor de A^{T}A é 0 (como visto no Passo 4).]
(b) \left(A^{T}A\right)^{-1} não existe (a matriz é singular, \det(A^{T}A)=0).
(c) \displaystyle \lambda_1=\dfrac{17+\sqrt{265}}{2},\quad \lambda_2=\dfrac{17-\sqrt{265}}{2},\quad \lambda_3=0.]