Dada a matriz
A=\left(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right)
calcule:
(a) A^{T} A;
(b) \left(A^{T} A\right)^{-1} (se existir);
(c) os autovalores de A^{T} A.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\[4pt]1 & 2 & 3\end{pmatrix},
e pede três coisas:
  • (a) calcular \,A^{T}A;
  • (b) calcular \left(A^{T}A\right)^{-1} (se existir);
  • (c) encontrar os autovalores de A^{T}A.
Informações relevantes que já estão no enunciado:
  • A é uma matriz 2\times3 (duas linhas e três colunas).
  • As colunas de A são
c_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix},\quad c_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix},\quad c_3=\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}.]

Passo 2

Definição e método para calcular A^{T}A.
Mini-aula curta: para duas matrizes compatíveis, o produto A^{T}A é uma matriz quadrada cujo elemento na linha i e coluna j é o produto interno da coluna i de A com a coluna j de A. Em notação:
\big(A^{T}A\big)_{ij}=c_i\cdot c_j.
Aqui isso é especialmente simples porque cada coluna tem apenas duas entradas.
Vamos calcular todos os produtos internos entre c_1,c_2,c_3:
\begin{aligned} c_1\cdot c_1 &= 1\cdot1 + 1\cdot1 = 2,\\[4pt] c_1\cdot c_2 &= 1\cdot1 + 1\cdot2 = 3,\\[4pt] c_1\cdot c_3 &= 1\cdot1 + 1\cdot3 = 4,\\[4pt] c_2\cdot c_2 &= 1\cdot1 + 2\cdot2 = 5,\\[4pt] c_2\cdot c_3 &= 1\cdot1 + 2\cdot3 = 7,\\[4pt] c_3\cdot c_3 &= 1\cdot1 + 3\cdot3 = 10. \end{aligned}
Portanto, montando a matriz simétrica A^{T}A:
A^{T}A=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 4\\[4pt] 3 & 5 & 7\\[4pt] 4 & 7 & 10 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Existe inversa? (critério e cálculo do determinante)
Mini-aula curta: uma matriz quadrada M tem inversa se e somente se \det(M)\neq 0. Outra observação útil: \operatorname{rank}(A^{T}A)=\operatorname{rank}(A), então se A não tem colunas linearmente independentes suficientes (aqui tem 3 colunas em apenas 2 dimensões), espera-se que A^{T}A seja singular (determinante zero).
Vamos calcular explicitamente o determinante de A^{T}A. Para
M=\begin{pmatrix}2&3&4\\[4pt]3&5&7\\[4pt]4&7&10\end{pmatrix},
usamos a fórmula do determinante 3×3 (expansão pela primeira linha):
\det(M)=2\big(5\cdot10-7\cdot7\big)-3\big(3\cdot10-7\cdot4\big)+4\big(3\cdot7-5\cdot4\big).
Agora calculando cada termo:
\begin{aligned} 5\cdot10-7\cdot7&=50-49=1,\\[4pt] 3\cdot10-7\cdot4&=30-28=2,\\[4pt] 3\cdot7-5\cdot4&=21-20=1. \end{aligned}
Substituindo:
\det(M)=2\cdot1-3\cdot2+4\cdot1=2-6+4=0.
Como \det(A^{T}A)=0, a matriz é singular e, portanto, \left(A^{T}A\right)^{-1} não existe.]

Passo 4

Interpretação da singularidade e relação com o posto
Explicação didática: A tem apenas duas linhas, logo o posto máximo possível é 2. Como A efetivamente tem posto 2 (as duas linhas são linearmente independentes), \operatorname{rank}(A)=2. Para a matriz 3\times3 A^{T}A isso implica \operatorname{rank}(A^{T}A)=2, ou seja, um autovalor será zero (multiplicidade pelo menos 1). Isso confirma que não há inversa.

Passo 5

Como achar os autovalores de A^{T}A de modo conveniente
Mini-aula curta: A^{T}A e AA^{T} têm os mesmos autovalores não nulos. Aqui AA^{T} é uma matriz 2\times2, então é mais fácil obter seus autovalores (são dois), e esses serão os dois autovalores não nulos de A^{T}A. O terceiro autovalor de A^{T}A será 0 por conta do posto 2.
Calculemos AA^{T}. As linhas de A são r_1=(1,1,1) e r_2=(1,2,3). Então
AA^{T}=\begin{pmatrix} r_1\cdot r_1 & r_1\cdot r_2\\[4pt] r_2\cdot r_1 & r_2\cdot r_2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3 & 6\\[4pt] 6 & 14 \end{pmatrix},
pois r_1\cdot r_1=1+1+1=3, r_1\cdot r_2=1+2+3=6, r_2\cdot r_2=1+4+9=14.]

Passo 6

Encontrar os autovalores de AA^{T} (e transpor para A^{T}A)
Para uma matriz 2\times2 \begin{pmatrix}a&b\\\ b&d\end{pmatrix} os autovalores \lambda são raízes do polinômio característico
\det\begin{pmatrix}a-\lambda & b\\[4pt] b & d-\lambda\end{pmatrix} =(a-\lambda)(d-\lambda)-b^2=0.
Aplicando a AA^{T}=\begin{pmatrix}3&6\\[4pt]6&14\end{pmatrix}, obtemos
\begin{aligned} \det(AA^{T}-\lambda I)&=(3-\lambda)(14-\lambda)-6^2\\[4pt] &= \lambda^2-17\lambda+6. \end{aligned}
Então os autovalores são as raízes da equação quadrática
\lambda^2-17\lambda+6=0.
Usando a fórmula de Bhaskara:
\lambda=\dfrac{17\pm\sqrt{17^2-4\cdot1\cdot6}}{2} =\dfrac{17\pm\sqrt{289-24}}{2} =\dfrac{17\pm\sqrt{265}}{2}.
Esses dois valores são positivos (como esperado para AA^{T} e A^{T}A, que são semidefinidas positivas), e são exatamente os dois autovalores não nulos de A^{T}A. O terceiro autovalor de A^{T}A é 0 (como visto no Passo 4).]

Passo 7

Resumo final dos autovalores com notação clara
Portanto, os autovalores de A^{T}A são
\lambda_1=\dfrac{17+\sqrt{265}}{2},\qquad \lambda_2=\dfrac{17-\sqrt{265}}{2},\qquad \lambda_3=0.

Resposta

(a) A^{T}A=\begin{pmatrix}2 & 3 & 4\\[4pt]3 & 5 & 7\\[4pt]4 & 7 & 10\end{pmatrix}
(b) \left(A^{T}A\right)^{-1} não existe (a matriz é singular, \det(A^{T}A)=0).
(c) \displaystyle \lambda_1=\dfrac{17+\sqrt{265}}{2},\quad \lambda_2=\dfrac{17-\sqrt{265}}{2},\quad \lambda_3=0.]

Exercícios relacionados