a) Considere um sistema de tres particulas idénticas e independentes cujas autofunções são \psi_{n}\left(\vec{r}_{i}\right),(i=1,2,3). Uma dessas particulas se encontra no estado quåntico n=\alpha, uma no n=\beta e uma no n=\gamma. Escreve duas possiveis formas da autofunção desse sistema. Que fato determina qual das duas formas se aplica para o dado sistema?
b) Para qual tipo de partículas idènticas se aplica o principio de exclusão de Pauli? Anuncie esse principio e demonstre que a forma de autofunção que vocē determinou no item (a) estcja consistente com cle.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (retiradas do texto/imagem do problema):
  • Há um sistema de três partículas idênticas e independentes.
  • As autofunções unipartícula são \psi_{n}\!\left(\vec r_i\right) com i=1,2,3.
  • Uma partícula está no estado quântico n=\alpha, outra em n=\beta e outra em n=\gamma.
    As perguntas pedidas são:
  • (a) Escrever duas possíveis formas da autofunção total desse sistema e dizer que fato determina qual forma se aplica.
  • (b) Para que tipo de partículas idênticas se aplica o princípio de exclusão de Pauli; enunciar esse princípio e demonstrar que a forma da autofunção do item (a) é consistente com ele.

Passo 2

Conceito essencial (motivo físico da simetrização). Explicação didática e motivada:
  • Partículas idênticas são indistinguíveis: trocar duas partículas não muda nenhum resultado observável. Isso implica que, ao aplicar o operador de troca P_{ij} (que troca as coordenadas das partículas i e j) à autofunção total \Psi(\vec r_1,\vec r_2,\vec r_3), o estado resultante só pode diferir da original por um fator de fase independente das posições. Em não-relativística e nos casos usuais, esse fator é \pm 1.
  • Assim, a autofunção total deve satisfazer para qualquer troca i\leftrightarrow j:
P_{ij}\,\Psi(\vec r_1,\vec r_2,\vec r_3)=\pm\Psi(\vec r_1,\vec r_2,\vec r_3).
  • O sinal + dá funções simétricas (permanece igual sob troca) e o sinal - dá funções antissimétricas (muda de sinal sob troca). Essas duas possibilidades são as que vamos construir explicitamente.

Passo 3

Forma simétrica (aplicável a bósons). Construção e normalização, passo a passo:
  • Assumir que as autofunções unipartícula \psi_{\alpha},\psi_{\beta},\psi_{\gamma} são ortonormais (isso é típico quando são autofunções de um operador hermitiano).
  • A combinação simétrica é a soma de todas as permutações dos rótulos das partículas aplicada ao produto simples \psi_{\alpha}(\vec r_1)\psi_{\beta}(\vec r_2)\psi_{\gamma}(\vec r_3). Há 3!=6 permutações diferentes.
  • A forma normalizada simétrica é
\Psi_{S}(\vec r_1,\vec r_2,\vec r_3) =\frac{1}{\sqrt{6}}\sum_{P\in S_3}\psi_{\alpha}\big(\vec r_{P(1)}\big)\,\psi_{\beta}\big(\vec r_{P(2)}\big)\,\psi_{\gamma}\big(\vec r_{P(3)}\big),
onde a soma é sobre todas as permutações P dos índices \{1,2,3\}.
  • Por que o fator 1/\sqrt{6}? Se as unipartículas forem ortonormais e os três estados \alpha,\beta,\gamma forem distintos, cada um dos 6 termos é ortogonal aos outros, então a norma quadrada da soma é 6 e o fator 1/\sqrt{6} normaliza para 1.

Passo 4

Forma antissimétrica (aplicável a férmions). Construção via determinante (Slater determinant) e propriedades:
  • A forma antissimétrica é convenientemente escrita como um determinante de ordem 3 (Slater determinant). A expressão normalizada é
\Psi_{A}(\vec r_1,\vec r_2,\vec r_3) =\frac{1}{\sqrt{3!}} \begin{vmatrix} \psi_{\alpha}(\vec r_1) & \psi_{\alpha}(\vec r_2) & \psi_{\alpha}(\vec r_3)\\[4pt] \psi_{\beta}(\vec r_1) & \psi_{\beta}(\vec r_2) & \psi_{\beta}(\vec r_3)\\[4pt] \psi_{\gamma}(\vec r_1) & \psi_{\gamma}(\vec r_2) & \psi_{\gamma}(\vec r_3) \end{vmatrix}.
  • Expansão do determinante gera a soma sobre permutações com sinais \pm 1 (o sinal é o sinal da permutação). Por isso a função muda de sinal ao trocar duas colunas (ou seja, ao trocar duas partículas): troca de colunas corresponde a trocar coordenadas de partículas e faz o determinante multiplicar por -1, demonstrando a propriedade antissimétrica.
  • O fator 1/\sqrt{3!} normaliza porque, com estados unipartícula ortonormais e distintos, os termos ortogonais somam norma 3!.]

Passo 5

Que fato determina qual forma aplicar?
  • O que determina se a função de onda total deve ser simétrica ou antissimétrica é a natureza da estatística quântica da partícula, relacionada ao spin:
    • Partículas com spin inteiro (0,1,2,…) são bósons e têm autofunções totais simétricas sob permutações.
    • Partículas com spin semi-inteiro (1/2,3/2,…) são férmions e têm autofunções totais antissimétricas.
  • Essa regra é conhecida como o teorema spin-estatística (não se demonstra aqui), portanto para decidir se usamos \Psi_S ou \Psi_A basta saber o spin (ou: se a partícula é férmion ou bóson).

Passo 6

Enunciado do princípio de exclusão de Pauli e demonstração usando a forma antissimétrica:
  • Enunciado (forma comum): “Nenhum par de férmions idênticos pode ocupar simultaneamente o mesmo estado quântico completo.” Mais precisamente: dois férmions não podem ter todas as coordenadas (inclusive spin) idênticas.
  • Demonstração com a forma antissimétrica (exemplo simples e generalização):
    • Caso simples com duas partículas: a função antissimétrica é \Psi_A(\vec r_1,\vec r_2)=\frac{1}{\sqrt{2}}\big[\psi_a(\vec r_1)\psi_b(\vec r_2)-\psi_a(\vec r_2)\psi_b(\vec r_1)\big].Se \psi_a=\psi_b (ou seja, tentamos colocar as duas partículas no mesmo estado unipartícula), então \Psi_A(\vec r_1,\vec r_2)=\frac{1}{\sqrt{2}}\big[\psi_a(\vec r_1)\psi_a(\vec r_2)-\psi_a(\vec r_2)\psi_a(\vec r_1)\big]=0.A função nula significa que não existe um estado permitido com as duas partículas no mesmo estado unipartícula — é proibido.
    • Caso geral com três partículas no determinante: se \alpha=\beta (dois rótulos iguais), então na matriz do determinante há duas linhas idênticas e o determinante é zero. Logo \Psi_A\equiv 0: impossível.
  • Conclusão: a antissimetria da função de onda implica diretamente o princípio de exclusão de Pauli para férmions.

Passo 7

Observação importante sobre spin e o “estado” do princípio de Pauli:
  • O princípio de Pauli refere-se ao estado quântico completo (inclui coordenadas espaciais e grau de liberdade de spin). Portanto, dois elétrons (férmions) podem ocupar a mesma orbital espacial se tiverem estados de spin diferentes — porque o estado total (espaço×spin) pode ainda ser antissimétrico.
  • Exemplo rápido: para dois elétrons na mesma orbital espacial \varphi(\vec r), um par formado pelo produto espacial simétrico \varphi(\vec r_1)\varphi(\vec r_2) só é permitido se a parte de spin for antissimétrica (estado singlete). Se a parte de spin for simétrica (triplete), então o total não será antissimétrico e a configuração é proibida.

Resposta

(a) Duas formas possíveis da autofunção total são:
\Psi_{S}(\vec r_1,\vec r_2,\vec r_3) =\frac{1}{\sqrt{6}}\sum_{P\in S_3}\psi_{\alpha}\big(\vec r_{P(1)}\big)\,\psi_{\beta}\big(\vec r_{P(2)}\big)\,\psi_{\gamma}\big(\vec r_{P(3)}\big)
(esta é a forma simétrica, aplicável a bósons)
e
\Psi_{A}(\vec r_1,\vec r_2,\vec r_3) =\frac{1}{\sqrt{3!}} \begin{vmatrix} \psi_{\alpha}(\vec r_1) & \psi_{\alpha}(\vec r_2) & \psi_{\alpha}(\vec r_3)\\[4pt] \psi_{\beta}(\vec r_1) & \psi_{\beta}(\vec r_2) & \psi_{\beta}(\vec r_3)\\[4pt] \psi_{\gamma}(\vec r_1) & \psi_{\gamma}(\vec r_2) & \psi_{\gamma}(\vec r_3) \end{vmatrix}
(esta é a forma antissimétrica, aplicável a férmions). O fato que determina qual forma usar é a estatística da partícula: bósons (spin inteiro) → função simétrica; férmions (spin semi-inteiro) → função antissimétrica.
(b) O princípio de exclusão de Pauli aplica-se a férmions (partículas de spin semi-inteiro). Enunciado: “Não podem existir dois férmions idênticos no mesmo estado quântico completo.” Demonstração: para férmions a autofunção total é antissimétrica; se dois rótulos unipartícula forem iguais, o determinante (ou a combinação antissimétrica) possui duas linhas iguais e é zero, logo não existe estado permitido com essas duas partículas no mesmo estado unipartícula — isto é exatamente o conteúdo do princípio de Pauli.]

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