a) Considere um sistema de tres particulas idénticas e independentes cujas autofunções são
. Uma dessas particulas se encontra no estado quåntico
, uma no
e uma no
. Escreve duas possiveis formas da autofunção desse sistema. Que fato determina qual das duas formas se aplica para o dado sistema?
b) Para qual tipo de partículas idènticas se aplica o principio de exclusão de Pauli? Anuncie esse principio e demonstre que a forma de autofunção que vocē determinou no item (a) estcja consistente com cle.
b) Para qual tipo de partículas idènticas se aplica o principio de exclusão de Pauli? Anuncie esse principio e demonstre que a forma de autofunção que vocē determinou no item (a) estcja consistente com cle.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (retiradas do texto/imagem do problema):
- Há um sistema de três partículas idênticas e independentes.
- As autofunções unipartícula são
com . - Uma partícula está no estado quântico
, outra em e outra em .
As perguntas pedidas são: - (a) Escrever duas possíveis formas da autofunção total desse sistema e dizer que fato determina qual forma se aplica.
- (b) Para que tipo de partículas idênticas se aplica o princípio de exclusão de Pauli; enunciar esse princípio e demonstrar que a forma da autofunção do item (a) é consistente com ele.
Passo 2
Conceito essencial (motivo físico da simetrização). Explicação didática e motivada:
- Partículas idênticas são indistinguíveis: trocar duas partículas não muda nenhum resultado observável. Isso implica que, ao aplicar o operador de troca
(que troca as coordenadas das partículas e ) à autofunção total , o estado resultante só pode diferir da original por um fator de fase independente das posições. Em não-relativística e nos casos usuais, esse fator é . - Assim, a autofunção total deve satisfazer para qualquer troca
:
- O sinal
dá funções simétricas (permanece igual sob troca) e o sinal dá funções antissimétricas (muda de sinal sob troca). Essas duas possibilidades são as que vamos construir explicitamente.
Passo 3
Forma simétrica (aplicável a bósons). Construção e normalização, passo a passo:
- Assumir que as autofunções unipartícula
são ortonormais (isso é típico quando são autofunções de um operador hermitiano). - A combinação simétrica é a soma de todas as permutações dos rótulos das partículas aplicada ao produto simples
. Há permutações diferentes. - A forma normalizada simétrica é
onde a soma é sobre todas as permutações
dos índices
.
- Por que o fator
? Se as unipartículas forem ortonormais e os três estados forem distintos, cada um dos 6 termos é ortogonal aos outros, então a norma quadrada da soma é e o fator normaliza para 1.
Passo 4
Forma antissimétrica (aplicável a férmions). Construção via determinante (Slater determinant) e propriedades:
- A forma antissimétrica é convenientemente escrita como um determinante de ordem
(Slater determinant). A expressão normalizada é
- Expansão do determinante gera a soma sobre permutações com sinais
(o sinal é o sinal da permutação). Por isso a função muda de sinal ao trocar duas colunas (ou seja, ao trocar duas partículas): troca de colunas corresponde a trocar coordenadas de partículas e faz o determinante multiplicar por , demonstrando a propriedade antissimétrica. - O fator
normaliza porque, com estados unipartícula ortonormais e distintos, os termos ortogonais somam norma .]
Passo 5
Que fato determina qual forma aplicar?
- O que determina se a função de onda total deve ser simétrica ou antissimétrica é a natureza da estatística quântica da partícula, relacionada ao spin:
- Partículas com spin inteiro (0,1,2,…) são bósons e têm autofunções totais simétricas sob permutações.
- Partículas com spin semi-inteiro (1/2,3/2,…) são férmions e têm autofunções totais antissimétricas.
- Essa regra é conhecida como o teorema spin-estatística (não se demonstra aqui), portanto para decidir se usamos
ou basta saber o spin (ou: se a partícula é férmion ou bóson).
Passo 6
Enunciado do princípio de exclusão de Pauli e demonstração usando a forma antissimétrica:
- Enunciado (forma comum): “Nenhum par de férmions idênticos pode ocupar simultaneamente o mesmo estado quântico completo.” Mais precisamente: dois férmions não podem ter todas as coordenadas (inclusive spin) idênticas.
- Demonstração com a forma antissimétrica (exemplo simples e generalização):
- Caso simples com duas partículas: a função antissimétrica é
Se (ou seja, tentamos colocar as duas partículas no mesmo estado unipartícula), então A função nula significa que não existe um estado permitido com as duas partículas no mesmo estado unipartícula — é proibido. - Caso geral com três partículas no determinante: se
(dois rótulos iguais), então na matriz do determinante há duas linhas idênticas e o determinante é zero. Logo : impossível.
- Caso simples com duas partículas: a função antissimétrica é
- Conclusão: a antissimetria da função de onda implica diretamente o princípio de exclusão de Pauli para férmions.
Passo 7
Observação importante sobre spin e o “estado” do princípio de Pauli:
- O princípio de Pauli refere-se ao estado quântico completo (inclui coordenadas espaciais e grau de liberdade de spin). Portanto, dois elétrons (férmions) podem ocupar a mesma orbital espacial se tiverem estados de spin diferentes — porque o estado total (espaço×spin) pode ainda ser antissimétrico.
- Exemplo rápido: para dois elétrons na mesma orbital espacial
, um par formado pelo produto espacial simétrico só é permitido se a parte de spin for antissimétrica (estado singlete). Se a parte de spin for simétrica (triplete), então o total não será antissimétrico e a configuração é proibida.
Resposta
(a) Duas formas possíveis da autofunção total são:
(esta é a forma simétrica, aplicável a bósons)
e
e
(esta é a forma antissimétrica, aplicável a férmions). O fato que determina qual forma usar é a estatística da partícula: bósons (spin inteiro) → função simétrica; férmions (spin semi-inteiro) → função antissimétrica.
(b) O princípio de exclusão de Pauli aplica-se a férmions (partículas de spin semi-inteiro). Enunciado: “Não podem existir dois férmions idênticos no mesmo estado quântico completo.” Demonstração: para férmions a autofunção total é antissimétrica; se dois rótulos unipartícula forem iguais, o determinante (ou a combinação antissimétrica) possui duas linhas iguais e é zero, logo não existe estado permitido com essas duas partículas no mesmo estado unipartícula — isto é exatamente o conteúdo do princípio de Pauli.]