Considere que no sistema trifásico equilibrado apresentado \underline{Z},=12+j 5 \Omega e \underline{1}_{b \mathrm{B}}=20 \underline{0^{\circ}} \mathrm{A} ef. com sequéncia de fases positiva. Se a fonte estiver a operar com um factor de potència de 0.935 . calcular:
a. R_{n},
b. I_{\text {min }} :
c. \quad \underline{V}_{A B},
d. a potência complexa fornecida pela fonte.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema trifásico equilibrado em estrela, com impedância de carga por fase
\underline{Z} = 12 + j5 \;\Omega
e corrente de linha na fase b dada por
\underline{I}_{bB} = 20\angle 0^\circ\;\text{A}
(positiva). A fonte deve operar com fator de potência \cos\varphi_{\rm fonte}=0,935. Precisamos achar:
a) R_{n}, resistência interna em cada fase para obter esse \mathrm{pf};
b) I_{\min};
c) a tensão de linha-fase \underline{V}_{AB} na saída da fonte;
d) a potência complexa fornecida pela fonte.

Passo 2

Para ajustar o fator de potência da fonte usamos o modelo monofásico equivalente por fase: resistência interna R_{n} em série com a carga \underline{Z}. Então o módulo da impedância total é
Z_{\rm tot} = (R_{n}+12) + j5,
e o fator de potência da fonte é
\cos\varphi_{\rm fonte} = \frac{R_{n}+12}{\sqrt{(R_{n}+12)^2 + 5^2}} =0,935.
Elevando ao quadrado e isolando R_{n}:
\frac{(R_{n}+12)^2}{(R_{n}+12)^2 +25} = 0,935^2 =0,873225 \quad\Longrightarrow\quad (R_{n}+12)^2 = \frac{25\cdot0,873225}{1-0,873225}\approx172,22
R_{n}+12 \approx \sqrt{172,22}\approx13,12 \quad\Longrightarrow\quad R_{n}\approx1,12\;\Omega.

Passo 3

Em sistema equilibrado em estrela, mesmo com resistência interna em série, a corrente em cada fase é a mesma. Portanto a menor corrente de linha é
I_{\min}=|\underline{I}_{bB}|=20\;\text{A}.

Passo 4

A tensão de fase na saída da fonte (por fase) é
\underline{V}_{\varphi} = \underline{I}\,\Bigl[(R_{n}+12)+j5\Bigr] =20\angle 0^\circ\;\bigl(13,12 + j5\bigr) =20\cdot14,04\angle21,03^\circ =280,8\angle21,03^\circ\;\text{V}.
A tensão de linha-linha \underline{V}_{AB} é a diferença entre as fases a e b, mas em módulo vale
|\underline{V}_{AB}| = \sqrt{3}\,|\underline{V}_{\varphi}| =\sqrt{3}\times280,8\approx486,6\;\text{V},
e seu ângulo (calculado por subtração vetorial) é
\angle\underline{V}_{AB}\approx171,0^\circ.

Passo 5

A potência complexa total fornecida pela fonte é
\underline{S}_{\rm fonte} =3\,\underline{V}_{\varphi}\,\underline{I}^* =3\,(280,8\angle21,03^\circ)\,(20\angle0^\circ) =16848\angle21,03^\circ\;\text{VA}.
Disso temos
P = 16848\cos21,03^\circ\approx15760\;\text{W}, \quad Q = 16848\sin21,03^\circ\approx6020\;\text{var}.

Resposta

a) R_{n}\approx1,12\;\Omega.
b) I_{\min}=20\;\text{A}.
c) \underline{V}_{AB}\approx486,6\angle171,0^\circ\;\text{V}.
d) \underline{S}_{\rm fonte}=16848\angle21,03^\circ\;\text{VA} (ou P\approx15760\;\mathrm{W},\;Q\approx6020\;\mathrm{var}).

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