Considere um sistema unidimensional clássico constituído por duas partículas não-interagentes de mesma massa
. O movimento dessas partículas está restrito a uma regiâo do eixo
entre
e
. Sejam
e
as coordenadas de posição das partículas e
e
os momentos canonicamente conjugados. A energia total desse sistema está entre
e
. Desenhe a projeção do espaço de fase no plano definido pelas coordenadas de posição. Indique a região desse plano que é acessivel ao sistema. Repita agora seus desenhos no plano definido pelas coordenadas de momento.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas separadas, ambas sobre projeções do espaço de fase do sistema:
- Desenhar a projeção no plano das coordenadas de posição
e indicar a região desse plano que é acessível quando a energia total do sistema está entre e . - Repetir o desenho e indicar a região acessível no plano das coordenadas de momento
.
Informações dadas que vamos usar (listei tudo explicitamente):
- São duas partículas não-interagentes, mesma massa
. - As posições satisfazem
para . - Os momentos canonicamente conjugados são
. - A energia total do sistema está entre
e . - Não há potencial interno dentro do intervalo
(é o caso clássico de uma partícula livre dentro de uma caixa), então a energia cinética total é a energia do sistema.
Passo 2
Esclarecendo o modelo físico e a equação da energia (isso é a base para os desenhos):
- Como as partículas são não-interagentes e não há potencial dentro da caixa, o hamiltoniano total (energia) do sistema vale
Aqui
e
são os momentos lineares das partículas; cada termo
é a energia cinética da partícula
.
- A condição “energia entre
e ” significa
Essa desigualdade só envolve os momentos
— ou seja, a restrição de energia determina uma região no plano dos momentos.
Comentário conceitual sobre projeção do espaço de fase:
- Espaço de fase do sistema tem 4 dimensões
. Fazer a projeção no plano significa “esquecer” os momentos e ver que posições são compatíveis com a condição de energia; projetar em significa “esquecer” as posições e ver quais momentos satisfazem a condição de energia.
Passo 3
Projeção no plano
— razão física e desenho:
- As restrições sobre as posições são apenas as paredes da caixa:
e . Não há potencial variável dentro da caixa que ligue posições e energia, então a condição sobre a energia não impõe limites adicionais sobre . - Logo, qualquer par
com e é compatível com algum par de momentos que satisfaça a condição de energia (por exemplo, escolher momentos apropriados que somem para a energia desejada). - Assim a projeção no plano das posições é o quadrado fechado
Desenho (descrevo para você desenhar à mão): um quadrado de lado
com cantos em
,
,
,
. A região acessível é todo esse quadrado preenchido — não existe buraco nem anel aí; toda a área interna e as bordas são acessíveis.
Observação importante (caso extremo): se
e
pequeno tal que apenas
é permitido, então os momentos devem ser
e ainda assim as posições podem ser qualquer ponto do quadrado. Portanto mesmo nesse caso o quadrado inteiro permanece acessível.
Passo 4
Projeção no plano
— derivação geométrica:
- A condição de energia escrita em termos dos momentos é
- No plano
a equação é uma circunferência de raio
- Portanto a condição com
e descreve a coroa circular (um anel) entre duas circunferências centradas na origem, com raios
- Se
é pequeno comparado a (caso usual quando pensamos em microcanais de energia), o anel é fino. Usando expansão para temos uma espessura aproximada
- Uma observação útil (muito usada em estatística clássica): a área do anel (região entre as duas circunferências) para
pequeno vale aproximadamente
Note como
cancela — esse resultado aparece frequentemente ao contar estados no espaço de momentos.
Passo 5
Desenho e interpretação física do plano
:
- Desenho (descrevo para você desenhar): no plano com eixos
(horizontal) e (vertical), desenhe duas circunferências concêntricas centradas na origem com raios e . A região acessível é a faixa (anél) entre essas duas curvas. - Fisiologicamente: cada ponto no anel representa um par de momentos
cuja energia total está no intervalo pedido. Os sinais de são permitidos positivos ou negativos; as colisões nas paredes trocam o sinal de um momento, mas isso não altera a validade do ponto do anel para representar um estado instantâneo.
Passo 6
Resumo didático final (como lembrar isso rápido na prova):
- Para a projeção em posições, pergunte-se: existe potencial que dependa de
? Se não (partícula livre na caixa), a restrição energética não corta nada em . Então o plano de posições é simplesmente o quadrado . - Para a projeção em momentos, escreva a energia em termos dos momentos e reconheça a equação de uma circunferência. Energia entre
e vira um anel no plano entre as circunferências de raios e .
Resposta
Região acessível no plano
:
(todo o quadrado de lado
).
Região acessível no plano :
(anel entre as circunferências de raios
e
).
Região acessível no plano