Considere um sistema unidimensional clássico constituído por duas partículas não-interagentes de mesma massa m. O movimento dessas partículas está restrito a uma regiâo do eixo x entre x=0 e x=L>0. Sejam x_{1} e x_{2} as coordenadas de posição das partículas e p_{1} e p_{2} os momentos canonicamente conjugados. A energia total desse sistema está entre E e E+\delta E. Desenhe a projeção do espaço de fase no plano definido pelas coordenadas de posição. Indique a região desse plano que é acessivel ao sistema. Repita agora seus desenhos no plano definido pelas coordenadas de momento.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas separadas, ambas sobre projeções do espaço de fase do sistema:
  1. Desenhar a projeção no plano das coordenadas de posição (x_{1},x_{2}) e indicar a região desse plano que é acessível quando a energia total do sistema está entre E e E+\delta E.
  2. Repetir o desenho e indicar a região acessível no plano das coordenadas de momento (p_{1},p_{2}).
Informações dadas que vamos usar (listei tudo explicitamente):
  • São duas partículas não-interagentes, mesma massa m.
  • As posições satisfazem 0\le x_{i}\le L para i=1,2.
  • Os momentos canonicamente conjugados são p_{1},p_{2}.
  • A energia total do sistema está entre E e E+\delta E.
  • Não há potencial interno dentro do intervalo [0,L] (é o caso clássico de uma partícula livre dentro de uma caixa), então a energia cinética total é a energia do sistema.

Passo 2

Esclarecendo o modelo físico e a equação da energia (isso é a base para os desenhos):
  • Como as partículas são não-interagentes e não há potencial dentro da caixa, o hamiltoniano total (energia) do sistema vale
H=\frac{p_{1}^{2}}{2m}+\frac{p_{2}^{2}}{2m}.
Aqui p_{1} e p_{2} são os momentos lineares das partículas; cada termo \dfrac{p_{i}^{2}}{2m} é a energia cinética da partícula i.
  • A condição “energia entre E e E+\delta E” significa
E \le \frac{p_{1}^{2}}{2m}+\frac{p_{2}^{2}}{2m} \le E+\delta E.
Essa desigualdade só envolve os momentos p_{1},p_{2} — ou seja, a restrição de energia determina uma região no plano dos momentos.
Comentário conceitual sobre projeção do espaço de fase:
  • Espaço de fase do sistema tem 4 dimensões (x_{1},x_{2},p_{1},p_{2}). Fazer a projeção no plano (x_{1},x_{2}) significa “esquecer” os momentos e ver que posições são compatíveis com a condição de energia; projetar em (p_{1},p_{2}) significa “esquecer” as posições e ver quais momentos satisfazem a condição de energia.

Passo 3

Projeção no plano (x_{1},x_{2}) — razão física e desenho:
  • As restrições sobre as posições são apenas as paredes da caixa: 0\le x_{1}\le L e 0\le x_{2}\le L. Não há potencial variável dentro da caixa que ligue posições e energia, então a condição sobre a energia não impõe limites adicionais sobre x_{1},x_{2}.
  • Logo, qualquer par (x_{1},x_{2}) com 0\le x_{1}\le L e 0\le x_{2}\le L é compatível com algum par de momentos que satisfaça a condição de energia (por exemplo, escolher momentos apropriados que somem para a energia desejada).
  • Assim a projeção no plano das posições é o quadrado fechado
\{(x_{1},x_{2}) \mid 0\le x_{1}\le L,\;0\le x_{2}\le L\}.
Desenho (descrevo para você desenhar à mão): um quadrado de lado L com cantos em (0,0), (L,0), (0,L), (L,L). A região acessível é todo esse quadrado preenchido — não existe buraco nem anel aí; toda a área interna e as bordas são acessíveis.
Observação importante (caso extremo): se E=0 e \delta E pequeno tal que apenas E=0 é permitido, então os momentos devem ser p_{1}=p_{2}=0 e ainda assim as posições podem ser qualquer ponto do quadrado. Portanto mesmo nesse caso o quadrado inteiro permanece acessível.

Passo 4

Projeção no plano (p_{1},p_{2}) — derivação geométrica:
  • A condição de energia escrita em termos dos momentos é
2mE \le p_{1}^{2}+p_{2}^{2} \le 2m(E+\delta E).
  • No plano (p_{1},p_{2}) a equação p_{1}^{2}+p_{2}^{2}=2mE é uma circunferência de raio
r=\sqrt{2mE}.
  • Portanto a condição com E e E+\delta E descreve a coroa circular (um anel) entre duas circunferências centradas na origem, com raios
r_{\text{in}}=\sqrt{2mE},\qquad r_{\text{out}}=\sqrt{2m(E+\delta E)}.
  • Se \delta E é pequeno comparado a E (caso usual quando pensamos em microcanais de energia), o anel é fino. Usando expansão para \delta E\ll E temos uma espessura aproximada
\Delta r \approx r_{\text{out}}-r_{\text{in}}\approx r\cdot\frac{\delta E}{2E}=\sqrt{2mE}\,\frac{\delta E}{2E}=\delta E\,\sqrt{\frac{m}{2E}}.
  • Uma observação útil (muito usada em estatística clássica): a área do anel (região entre as duas circunferências) para \delta E pequeno vale aproximadamente
\text{Área}\approx 2\pi r\,\Delta r \approx 2\pi m\,\delta E.Á
Note como E cancela — esse resultado aparece frequentemente ao contar estados no espaço de momentos.

Passo 5

Desenho e interpretação física do plano (p_{1},p_{2}):
  • Desenho (descrevo para você desenhar): no plano com eixos p_{1} (horizontal) e p_{2} (vertical), desenhe duas circunferências concêntricas centradas na origem com raios \sqrt{2mE} e \sqrt{2m(E+\delta E)}. A região acessível é a faixa (anél) entre essas duas curvas.
  • Fisiologicamente: cada ponto no anel representa um par de momentos (p_{1},p_{2}) cuja energia total está no intervalo pedido. Os sinais de p_{1},p_{2} são permitidos positivos ou negativos; as colisões nas paredes trocam o sinal de um momento, mas isso não altera a validade do ponto do anel para representar um estado instantâneo.

Passo 6

Resumo didático final (como lembrar isso rápido na prova):
  • Para a projeção em posições, pergunte-se: existe potencial que dependa de x? Se não (partícula livre na caixa), a restrição energética não corta nada em (x_{1},x_{2}). Então o plano de posições é simplesmente o quadrado [0,L]\times[0,L].
  • Para a projeção em momentos, escreva a energia em termos dos momentos e reconheça a equação de uma circunferência. Energia entre E e E+\delta E vira um anel no plano (p_{1},p_{2}) entre as circunferências de raios \sqrt{2mE} e \sqrt{2m(E+\delta E)}.

Resposta

Região acessível no plano (x_{1},x_{2}): \{(x_{1},x_{2})\mid 0\le x_{1}\le L,\;0\le x_{2}\le L\} (todo o quadrado de lado L).
Região acessível no plano (p_{1},p_{2}): \{(p_{1},p_{2})\mid 2mE \le p_{1}^{2}+p_{2}^{2} \le 2m(E+\delta E)\} (anel entre as circunferências de raios \sqrt{2mE} e \sqrt{2m(E+\delta E)}).

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