Um explorador de uma densa floresta na África equatorial deixa a sua cabana. Ele dá 40 passos no sentido nordeste, depois 80 passos em uma direção que forma um ângulo de
considerando a rotação no sentido do oeste para o norte, a seguir 55 passos diretamente para o sul. Considerando-se que os seus passos têm o mesmo comprimento. A) Ajude-o a evitar se perder na floresta fornecendothe o vetor deslocamento, necessário para que ele retorne para sua cabana. B) Faça uma estimativa do que aconteceria se o explorador muda seu último deslocamento diretamente para o norte, ao em vez do sul.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- A) Encontrar o vetor deslocamento que o explorador precisa fazer para voltar à cabana (ou seja, o vetor que anula o deslocamento total que ele fez).
- B) Estimar o que acontece se o último deslocamento de
passos for para o norte (em vez de para o sul).
Informações dadas (todas em “passos” como unidade de comprimento):
- Primeiro deslocamento:
passos no sentido nordeste. - Segundo deslocamento:
passos numa direção que “forma um ângulo de considerando a rotação no sentido do oeste para o norte”. - Terceiro deslocamento (caso A):
passos diretamente para o sul. - Terceiro deslocamento (caso B, hipótese):
passos diretamente para o norte. - Os passos têm o mesmo comprimento (podemos tomar o comprimento de um passo como a unidade).
Passo 2
Escolhemos um sistema de coordenadas simples para trabalhar com vetores:
- Eixo
: positivo para leste (east). - Eixo
: positivo para norte (north).
Explicação sobre ângulos e convenção: medimos ângulos a partir do eixo positivo
(leste) no sentido anti-horário (sentido padrão). Assim:
- Nordeste corresponde a
(meio caminho entre leste e norte). - A frase “forma um ângulo de
considerando a rotação no sentido do oeste para o norte” significa: comece apontando para o oeste (isso é desde o leste) e gire em direção ao norte (sentido anti-horário). Logo a direção do segundo deslocamento é
medido a partir do leste (eixo
). Portanto o segundo vetor tem direção
.
Passo 3
Lembrete didático: decomposição em componentes.
Um vetor de magnitude e direção
(medida a partir do eixo
positivo) tem componentes
Um vetor de magnitude
Explicando:
dá a fração da magnitude na direção
, e
dá a fração na direção
. Vamos aplicar isso a cada deslocamento (tomando um passo como unidade).
Passo 4
Calcular as componentes do primeiro deslocamento (
):
- Magnitude
, direção .
Sabemos que
. Assim
Passo 5
Calcular as componentes do segundo deslocamento (
):
- Magnitude
, direção .
Usamose . Então
Passo 6
Calcular as componentes do terceiro deslocamento no caso A (
, para o sul):
- Magnitude
, direção sul significa negativo e . Logo
Passo 7
Somar as componentes para obter o deslocamento total
(caso A):
Somando -componentes:
Somando
Somando
-componentes:
Portanto
Vamos dar uma aproximação numérica (usar
e
):
Logo
Passo 8
O vetor que o explorador precisa percorrer para voltar à cabana é o vetor oposto a
, ou seja
. Assim, caso A:
Aproximação numérica:
Também podemos estimar a distância (módulo) que ele teria de caminhar para voltar:
Passo 9
Agora tratamos o caso B (terceiro deslocamento para o norte).
O terceiro vetor passa a ser
O terceiro vetor passa a ser
Repetimos a soma das componentes (as duas primeiras não mudam):
Numericamente:
Então o vetor total no caso B é
e o vetor para voltar à cabana é
.
Passo 10
Estimativa da mudança qualitativa entre A e B:
- No caso A ele fica a aproximadamente
passos da cabana (muito relativamente perto). - No caso B ele fica muito mais distante; o módulo em B é
Portanto, mudar o último deslocamento de sul para norte aumenta dramaticamente a distância até a cabana: de cerca de
passos para cerca de
passos — ou seja, ele se perderia muito mais.
Resposta
A) Vetor retorno (exato):
≈
.\n
B) Se o último deslocamento for para o norte: vetor retorno (exato) ≈
; a distância até a cabana passa de aproximadamente
passos (caso A) para aproximadamente
passos (caso B).
B) Se o último deslocamento for para o norte: vetor retorno (exato)