Um explorador de uma densa floresta na África equatorial deixa a sua cabana. Ele dá 40 passos no sentido nordeste, depois 80 passos em uma direção que forma um ângulo de 60^{\circ} considerando a rotação no sentido do oeste para o norte, a seguir 55 passos diretamente para o sul. Considerando-se que os seus passos têm o mesmo comprimento. A) Ajude-o a evitar se perder na floresta fornecendothe o vetor deslocamento, necessário para que ele retorne para sua cabana. B) Faça uma estimativa do que aconteceria se o explorador muda seu último deslocamento diretamente para o norte, ao em vez do sul.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. A) Encontrar o vetor deslocamento que o explorador precisa fazer para voltar à cabana (ou seja, o vetor que anula o deslocamento total que ele fez).
  2. B) Estimar o que acontece se o último deslocamento de 55 passos for para o norte (em vez de para o sul).
Informações dadas (todas em “passos” como unidade de comprimento):
  • Primeiro deslocamento: 40 passos no sentido nordeste.
  • Segundo deslocamento: 80 passos numa direção que “forma um ângulo de 60^\circ considerando a rotação no sentido do oeste para o norte”.
  • Terceiro deslocamento (caso A): 55 passos diretamente para o sul.
  • Terceiro deslocamento (caso B, hipótese): 55 passos diretamente para o norte.
  • Os passos têm o mesmo comprimento (podemos tomar o comprimento de um passo como a unidade).

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas simples para trabalhar com vetores:
  • Eixo x: positivo para leste (east).
  • Eixo y: positivo para norte (north).
Explicação sobre ângulos e convenção: medimos ângulos a partir do eixo positivo x (leste) no sentido anti-horário (sentido padrão). Assim:
  • Nordeste corresponde a 45^\circ (meio caminho entre leste e norte).
  • A frase “forma um ângulo de 60^\circ considerando a rotação no sentido do oeste para o norte” significa: comece apontando para o oeste (isso é 180^\circ desde o leste) e gire 60^\circ em direção ao norte (sentido anti-horário). Logo a direção do segundo deslocamento é
180^\circ - 60^\circ = 120^\circ
medido a partir do leste (eixo x). Portanto o segundo vetor tem direção \,120^\circ.

Passo 3

Lembrete didático: decomposição em componentes.
Um vetor de magnitude R e direção \theta (medida a partir do eixo x positivo) tem componentes
R_x = R\cos\theta,\qquad R_y = R\sin\theta.
Explicando: \cos\theta dá a fração da magnitude na direção x, e \sin\theta dá a fração na direção y. Vamos aplicar isso a cada deslocamento (tomando um passo como unidade).

Passo 4

Calcular as componentes do primeiro deslocamento ( \vec{v}_1):
  • Magnitude 40, direção 45^\circ.
\vec{v}_1 = (40\cos 45^\circ,\;40\sin 45^\circ).
Sabemos que \cos 45^\circ=\sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Assim
\vec{v}_1 = \Bigl(40\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2},\;40\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Bigr) = \bigl(20\sqrt{2},\;20\sqrt{2}\bigr).

Passo 5

Calcular as componentes do segundo deslocamento ( \vec{v}_2):
  • Magnitude 80, direção 120^\circ.
    Usamos \cos 120^\circ = -\dfrac{1}{2} e \sin 120^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}. Então
\vec{v}_2 = \Bigl(80\cos 120^\circ,\;80\sin 120^\circ\Bigr) = \Bigl(80\cdot\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr),\;80\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr) = (-40,\;40\sqrt{3}).

Passo 6

Calcular as componentes do terceiro deslocamento no caso A ( \vec{v}_3, para o sul):
  • Magnitude 55, direção sul significa y negativo e x=0. Logo
\vec{v}_3 = (0,\;-55).

Passo 7

Somar as componentes para obter o deslocamento total \vec{R}=\vec{v}_1+\vec{v}_2+\vec{v}_3 (caso A):
Somando x-componentes:
R_x = 20\sqrt{2} + (-40) + 0 = 20\sqrt{2}-40.
Somando y-componentes:
R_y = 20\sqrt{2} + 40\sqrt{3} + (-55) = 20\sqrt{2} + 40\sqrt{3} - 55.
Portanto
\vec{R}=\bigl(20\sqrt{2}-40,\;20\sqrt{2}+40\sqrt{3}-55\bigr).
Vamos dar uma aproximação numérica (usar \sqrt{2}\approx1,41421356 e \sqrt{3}\approx1,73205081):
20\sqrt{2}\approx28,2843,\qquad 40\sqrt{3}\approx69,2820.
Logo
R_x\approx -11,7157,\qquad R_y\approx 42,5663.

Passo 8

O vetor que o explorador precisa percorrer para voltar à cabana é o vetor oposto a \vec{R}, ou seja -\vec{R}. Assim, caso A:
-\vec{R}=\bigl(40-20\sqrt{2},\;55-20\sqrt{2}-40\sqrt{3}\bigr).
Aproximação numérica:
-\vec{R}\approx (11,7157,\;-42,5663).
Também podemos estimar a distância (módulo) que ele teria de caminhar para voltar:
\lVert\vec{R}\rVert=\sqrt{R_x^2+R_y^2}\approx\sqrt{(-11,7157)^2+(42,5663)^2}\approx 44,15\\ \text{passos}.

Passo 9

Agora tratamos o caso B (terceiro deslocamento para o norte).
O terceiro vetor passa a ser
\vec{v}_3'=(0,\;55).
Repetimos a soma das componentes (as duas primeiras não mudam):
R_x' = 20\sqrt{2}-40 \quad(\text{mesmo }R_x),
R_y' = 20\sqrt{2} + 40\sqrt{3} + 55.
Numericamente:
R_x'\approx -11,7157,\qquad R_y'\approx 152,5663.
Então o vetor total no caso B é
\vec{R}'\approx(-11,7157,\;152,5663),
e o vetor para voltar à cabana é -\vec{R}'\approx(11,7157,\;-152,5663).

Passo 10

Estimativa da mudança qualitativa entre A e B:
  • No caso A ele fica a aproximadamente 44,15 passos da cabana (muito relativamente perto).
  • No caso B ele fica muito mais distante; o módulo em B é
\lVert\vec{R}'\rVert\approx\sqrt{(-11,7157)^2+(152,5663)^2}\approx 153,00\\ \text{passos}.
Portanto, mudar o último deslocamento de sul para norte aumenta dramaticamente a distância até a cabana: de cerca de 44 passos para cerca de 153 passos — ou seja, ele se perderia muito mais.

Resposta

A) Vetor retorno (exato): \bigl(40-20\sqrt{2},\;55-20\sqrt{2}-40\sqrt{3}\bigr) (11,7157,\;-42,5663).\n
B) Se o último deslocamento for para o norte: vetor retorno (exato) \bigl(40-20\sqrt{2},\;-55-20\sqrt{2}-40\sqrt{3}\bigr) (11,7157,\;-152,5663); a distância até a cabana passa de aproximadamente 44,15 passos (caso A) para aproximadamente 153,00 passos (caso B).

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