Um piloto deseja pilotar um avião em direção ao norte em relação ao solo. A velocidade do avião é 200 \mathrm{~km} / \mathrm{h} em relação ao ar e o vento está soprando de oeste para leste a 90 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. (a) Qual a direção do avião no ar? (b) Qual é a velocidade do avião com relação ao solo?
◯ a) 27 graus para nordeste, b) 180 \mathrm{~km} / \mathrm{h}
◯ a) 35 graus para nordeste, b) 200 \mathrm{~km} / \mathrm{h}
◯ a) 45 graus para noroeste, b) 180 \mathrm{~km} / \mathrm{h}
◯ a) 72 graus para nordeste, b) 210 \mathrm{~km} / \mathrm{h}

Passo 1

O enunciado diz: um avião tem velocidade em relação ao ar de \,200\\ \mathrm{km/h}\, e o vento sopra de oeste para leste com velocidade \,90\\ \mathrm{km/h}\,. O piloto quer que a velocidade do avião em relação ao solo seja dirigida exatamente para o norte. Perguntas:
a) Qual a direção que o avião deve apontar em relação ao ar?
b) Qual é a velocidade do avião em relação ao solo?
Informações relevantes dadas: \,|\vec{v}_{\text{ar/avião}}|=200\\ \mathrm{km/h}\,ã, \,\vec{v}_{\text{vento}}=(90\\ \mathrm{km/h})\\ \hat{\imath}\, (para leste), e a condição desejada é \vec{v}_{\text{solo}} apontando para o norte (ou seja, componente leste/oeste igual a zero).

Passo 2

Vamos modelar o problema com vetores e componentes. Defino um sistema de coordenadas:
  • eixo x apontando para leste;
  • eixo y apontando para o norte.
A relação entre velocidades é
\vec{v}_{\text{solo}}=\vec{v}_{\text{avião/ ar}}+\vec{v}_{\text{vento}}.ã
Queremos que \vec{v}_{\text{solo}} tenha componente x igual a zero (direção exatamente norte). Seja \alpha o ângulo que o piloto aponta o avião medido a partir do norte, para o oeste (ou seja, \alpha graus a noroeste). Assim as componentes da velocidade do avião em relação ao ar são:
v_{x}^{\text{avião}}=-200\sin(\alpha)\quad\text{(negativa porque é para o oeste)},ãé
v_{y}^{\text{avião}}=200\cos(\alpha).ã
A velocidade do vento tem componentes
v_{x}^{\text{vento}}=90,\qquad v_{y}^{\text{vento}}=0.

Passo 3

Impondo que a componente x da velocidade em relação ao solo seja zero:
v_{x}^{\text{solo}}=v_{x}^{\text{avião}}+v_{x}^{\text{vento}}=0.ã
Substituindo:
-200\sin(\alpha)+90=0.
Isolando \sin(\alpha):
\sin(\alpha)=\frac{90}{200}=0,45.

Passo 4

Agora encontramos \alpha a partir de \sin(\alpha)=0,45. Tomando arco-seno:
\alpha=\arcsin(0,45)\approx 26,74^\circ.
Arredondando para um valor prático em prova, \alpha\approx 27^\circ. Interpretação: o avião deve apontar 27^\circ a oeste do norte, ou seja, na direção noroeste (não nordeste — estamos compensando a componente leste do vento com uma componente oeste do avião).

Passo 5

Agora calculamos a velocidade com relação ao solo (magnitute do vetor resultante). Como a componente x do solo é zero, a velocidade do solo é simplesmente a componente norte ( y ) do vetor resultante:
v_{\text{solo}}=v_{y}^{\text{solo}}=v_{y}^{\text{avião}}+v_{y}^{\text{vento}}=200\cos(\alpha)+0.ã
Usando \cos(\alpha)=\sqrt{1-\sin^2(\alpha)}=\sqrt{1-0,45^2}=\sqrt{0,7975}\approx 0,8930, temos
v_{\text{solo}}=200\cdot 0,8930\approx 178,6\\ \mathrm{km/h}.
Arredondando para uma resposta prática: aproximadamente \,180\\ \mathrm{km/h}\,.

Passo 6

Resumo e interpretação prática: o piloto deve apontar o avião um pouco para o lado oeste do norte (noroeste) para cancelar a deriva leste causada pelo vento. O ângulo é cerca de \,27^\circ\, a noroeste e a velocidade resultante sobre o solo fica aproximadamente \,180\\ \mathrm{km/h}\,. Força aí — você segura o avião contra o vento e chega no norte!

Resposta

a) \,27^\circ para noroeste
b) \,180\\ \mathrm{km/h}

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