Estime quantas moléculas de ar colidem com uma parede de uma sala, por segundo, assumindo um gás ideal de
moléculas ocupando a sala com lados de comprimento
a uma temperatura
e pressão
. (a) Mostre que a frequência
com que as moléculas do gás atinjem a parede é
onde
é a componente
da velocidade média das moléculas; (b) Mostre que esta equação pode ser escrita como
onde
é a massa de uma molécula do gás; (c) Assumindo uma sala cúbica cheia de ar, ao nível do mar, tem uma temperatura
e tem lados de comprimento
. Determine
.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- (a) Mostrar que a frequência
com que moléculas do gás atingem uma parede da sala é
- (b) Mostrar que essa expressão pode ser aproximada por
onde
é a massa de uma molécula do gás.
- (c) Calcular numericamente
para uma sala cúbica com , e pressão ao nível do mar.
Informações dadas e constantes que usaremos:
- Sala cúbica de lado
. - Número total de moléculas
(não precisamos do valor explícito em todos os passos); o gás é ideal com pressão e temperatura . - Constante de Boltzmann
. - Massa de uma molécula
(usar valor aproximado para o ar quando for calcular numericamente). - Definição importante que usaremos: densidade numérica (número de moléculas por volume)
(lei dos gases ideais).
Não começo a resolver ainda; apenas organizei o que é pedido e os dados disponíveis.
Passo 2
Ideia física e contagem de colisões (intuição que vamos tornar matemática).
- Imagine a parede plana de área
perpendicular ao eixo . Em um intervalo de tempo , só podem colidir com essa parede as moléculas que, no instante inicial, estavam numa camada (próxima à parede) de espessura e com componente de velocidade na direção (ou seja, movendo-se em direção à parede). - Para uma dada molécula com componente de velocidade
, o volume dessa camada por unidade de área é . Multiplicando pela densidade numérica obtemos o número de moléculas naquela “faixa” que atingirão a parede no tempo : (por unidade de área). - Para obter a taxa total de colisões precisamos somar (integrar) sobre todas as moléculas que se movem em direção à parede, isto é, sobre as diferentes
. Em vez de fazer a integral completa da distribuição de velocidades, podemos escrever o resultado em termos de uma velocidade média adequada. Definimos como a média (positiva) da componente das velocidades das moléculas que se dirigem para a parede. Assim, a contribuição média por molécula que se dirige para a parede é . - Observação simples: em equilíbrio e com distribuição isotrópica, metade das moléculas tem
(movendo-se para a parede) e metade tem . Esse fator é essencial.
Conclusão física pronta para ser escrita matematicamente: a taxa (número por unidade de tempo) de colisões sobre a área
é dada por
Passo 3
Derivação matemática do item (a) — chegar à expressão pedida.
- Pela explicação do passo anterior, a área é
, a densidade numérica é , a fração de moléculas com é e a velocidade média na direção (entre as que se dirigem para a parede) é . Portanto a frequência de colisões é
- Substituindo
obtemos exatamente
que é a expressão pedida no item (a).
Explicação didática das quantidades:
-
vem da equação de estado dos gases ideais (onde é o número de moléculas por volume). - O fator
aparece porque, em média, metade das moléculas tem componente positiva (movendo-se em direção à parede). -
aqui representa a média da componente das velocidades entre as moléculas que se movem para a parede (equivalente a sobre a distribuição de ).
Passo 4
Derivação do item (b) — aproximação usando equipartição de energia.
- A expressão do item (a) é
- Para estimativa simples (ordem de grandeza) substituímos
por uma grandeza fácil de obter: o valor quadrático médio (root-mean-square) da componente , que é dado por equipartição:
- Dessa igualdade segue
- Usamos a aproximação
(isso é uma aproximação: a média de sobre velocidades positivas difere por constantes numéricas da rms, mas para estimativa de ordem de magnitude é suficiente). - Substituindo
em (a) e obtemos
- Simplificando a expressão:
- Reescrevendo o denominador como
(para apresentar na forma pedida) temos
que é exatamente a expressão pedida no item (b).
Observação didática: a aproximação
introduz um erro de ordem de
em relação ao valor mais exato que se obtém levando em conta a forma completa da distribuição de Maxwell (o fator correto envolvendo médias absolutos dá uma constante
diferente), mas para uma estimativa rápida é aceitável.
Passo 5
Cálculo numérico do item (c) (usar a fórmula aproximada do item (b)).
Dados numéricos que usarei:
Dados numéricos que usarei:
-
(pressão ao nível do mar). -
(aproximação). -
. - Constante de Boltzmann
. - Massa média de uma molécula de ar: tomo
(ar ≈ 29 u; ).
Usando a fórmula aproximada
calculo passo a passo:
- Primeiro o numerador:
- Agora o argumento da raiz no denominador:
Faço a multiplicação aproximada:
- Raiz:
- Finalmente:
Interpretação: cerca de
colisões por segundo de moléculas de ar numa parede de
. Lembre que essa é uma estimativa de ordem de grandeza (a aproximação nos passos anteriores dá um valor bom dentro de algumas dezenas de porcento).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)