Estime quantas moléculas de ar colidem com uma parede de uma sala, por segundo, assumindo um gás ideal de N moléculas ocupando a sala com lados de comprimento \ell a uma temperatura T e pressão P. (a) Mostre que a frequência f com que as moléculas do gás atinjem a parede é
f=\frac{\bar{v}_{x}}{2} \frac{P}{k_{B} T} \ell^{2},
onde \bar{v}_{x} é a componente x da velocidade média das moléculas; (b) Mostre que esta equação pode ser escrita como
f \approx \frac{P \ell^{2}}{\sqrt{4 m k_{B} T}}
onde m é a massa de uma molécula do gás; (c) Assumindo uma sala cúbica cheia de ar, ao nível do mar, tem uma temperatura 20^{\circ} \mathrm{C} e tem lados de comprimento \ell=3 \mathrm{~m}. Determine f.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • (a) Mostrar que a frequência f com que moléculas do gás atingem uma parede da sala é
f=\frac{\bar{v}_{x}}{2}\,\frac{P}{k_{B}T}\,\ell^{2}.
  • (b) Mostrar que essa expressão pode ser aproximada por
f\approx\frac{P\ell^{2}}{\sqrt{4m k_{B}T}},
onde m é a massa de uma molécula do gás.
  • (c) Calcular numericamente f para uma sala cúbica com \ell=3\\ \mathrm{m}, T=20^\circ\mathrm{C} e pressão ao nível do mar.
Informações dadas e constantes que usaremos:
  • Sala cúbica de lado \ell.
  • Número total de moléculas N (não precisamos do valor explícito em todos os passos); o gás é ideal com pressão P e temperatura T.
  • Constante de Boltzmann k_{B}.
  • Massa de uma molécula m (usar valor aproximado para o ar quando for calcular numericamente).
  • Definição importante que usaremos: densidade numérica (número de moléculas por volume) \displaystyle n=\frac{P}{k_{B}T} (lei dos gases ideais).
Não começo a resolver ainda; apenas organizei o que é pedido e os dados disponíveis.

Passo 2

Ideia física e contagem de colisões (intuição que vamos tornar matemática).
  • Imagine a parede plana de área \ell^{2} perpendicular ao eixo x. Em um intervalo de tempo \Delta t, só podem colidir com essa parede as moléculas que, no instante inicial, estavam numa camada (próxima à parede) de espessura v_{x}\,\Delta t e com componente de velocidade na direção +x (ou seja, movendo-se em direção à parede).
  • Para uma dada molécula com componente de velocidade v_{x}>0, o volume dessa camada por unidade de área é v_{x}\Delta t. Multiplicando pela densidade numérica n obtemos o número de moléculas naquela “faixa” que atingirão a parede no tempo \Delta t: n\,v_{x}\Delta t (por unidade de área).
  • Para obter a taxa total de colisões precisamos somar (integrar) sobre todas as moléculas que se movem em direção à parede, isto é, sobre as diferentes v_{x}>0. Em vez de fazer a integral completa da distribuição de velocidades, podemos escrever o resultado em termos de uma velocidade média adequada. Definimos \bar{v}_{x} como a média (positiva) da componente x das velocidades das moléculas que se dirigem para a parede. Assim, a contribuição média por molécula que se dirige para a parede é \bar{v}_{x}.
  • Observação simples: em equilíbrio e com distribuição isotrópica, metade das moléculas tem v_{x}>0 (movendo-se para a parede) e metade tem v_{x}<0. Esse fator 1/2 é essencial.
Conclusão física pronta para ser escrita matematicamente: a taxa (número por unidade de tempo) de colisões sobre a área \ell^{2} é dada por
f = (\text{área})\times (\text{número por volume})\times (\text{fração que vem na direção})\times(\text{velocidade média na direção}).áúçãçãéçã

Passo 3

Derivação matemática do item (a) — chegar à expressão pedida.
  • Pela explicação do passo anterior, a área é \ell^{2}, a densidade numérica é n=\dfrac{P}{k_{B}T}, a fração de moléculas com v_{x}>0 é 1/2 e a velocidade média na direção +x (entre as que se dirigem para a parede) é \bar{v}_{x}. Portanto a frequência de colisões é
f=\ell^{2}\times n\times\frac{1}{2}\times\bar{v}_{x}.
  • Substituindo n=\dfrac{P}{k_{B}T} obtemos exatamente
f=\frac{\bar{v}_{x}}{2}\,\frac{P}{k_{B}T}\,\ell^{2},
que é a expressão pedida no item (a).
Explicação didática das quantidades:
  • n=\dfrac{P}{k_{B}T} vem da equação de estado dos gases ideais P=n k_{B}T (onde n é o número de moléculas por volume).
  • O fator 1/2 aparece porque, em média, metade das moléculas tem componente v_{x} positiva (movendo-se em direção à parede).
  • \bar{v}_{x} aqui representa a média da componente x das velocidades entre as moléculas que se movem para a parede (equivalente a \int_{0}^{\infty} v_{x} f(v_{x})\,dv_{x} sobre a distribuição de v_{x}).

Passo 4

Derivação do item (b) — aproximação usando equipartição de energia.
  • A expressão do item (a) é
f=\frac{\bar{v}_{x}}{2}\,\frac{P}{k_{B}T}\,\ell^{2}.
  • Para estimativa simples (ordem de grandeza) substituímos \bar{v}_{x} por uma grandeza fácil de obter: o valor quadrático médio (root-mean-square) da componente x, que é dado por equipartição:
\frac{1}{2}m\langle v_{x}^{2}\rangle=\frac{1}{2}k_{B}T.
  • Dessa igualdade segue
v_{x,\mathrm{rms}}=\sqrt{\langle v_{x}^{2}\rangle}=\sqrt{\frac{k_{B}T}{m}}.
  • Usamos a aproximação \bar{v}_{x}\approx v_{x,\mathrm{rms}} (isso é uma aproximação: a média de v_x sobre velocidades positivas difere por constantes numéricas da rms, mas para estimativa de ordem de magnitude é suficiente).
  • Substituindo \bar{v}_{x}\approx\sqrt{\dfrac{k_{B}T}{m}} em (a) e n=\dfrac{P}{k_{B}T} obtemos
f \approx \frac{1}{2}\,\frac{P}{k_{B}T}\,\ell^{2}\,\sqrt{\frac{k_{B}T}{m}}.
  • Simplificando a expressão:
f \approx \frac{P\ell^{2}}{2}\,\frac{\sqrt{k_{B}T}}{k_{B}T\sqrt{m}} = \frac{P\ell^{2}}{2}\,\frac{1}{\sqrt{m k_{B}T}}.
  • Reescrevendo o denominador como \sqrt{4 m k_{B}T}/2 (para apresentar na forma pedida) temos
f \approx \frac{P\ell^{2}}{\sqrt{4 m k_{B}T}},
que é exatamente a expressão pedida no item (b).
Observação didática: a aproximação \bar{v}_{x}\approx v_{x,\mathrm{rms}} introduz um erro de ordem de 25\% em relação ao valor mais exato que se obtém levando em conta a forma completa da distribuição de Maxwell (o fator correto envolvendo médias absolutos dá uma constante \sqrt{2/\pi} diferente), mas para uma estimativa rápida é aceitável.

Passo 5

Cálculo numérico do item (c) (usar a fórmula aproximada do item (b)).
Dados numéricos que usarei:
  • P=1{,}01\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa} (pressão ao nível do mar).
  • T=20^\circ\mathrm{C}=293\\ \mathrm{K} (aproximação).
  • \ell=3\\ \mathrm{m}.
  • Constante de Boltzmann k_{B}=1{,}380649\times 10^{-23}\\ \mathrm{J/K}.
  • Massa média de uma molécula de ar: tomo m\approx 4{,}8\times 10^{-26}\\ \mathrm{kg} (ar ≈ 29 u; 1\\ \mathrm{u}=1{,}6605\times 10^{-27}\\ \mathrm{kg}).
Usando a fórmula aproximada
f\approx\frac{P\ell^{2}}{\sqrt{4m k_{B}T}},
calculo passo a passo:
  • Primeiro o numerador:
P\ell^{2}=1{,}01\times 10^{5}\times (3)^{2}=1{,}01\times 10^{5}\times 9=9{,}09\times 10^{5}.
  • Agora o argumento da raiz no denominador:
4m k_{B}T=4\times(4{,}8\times 10^{-26})\times(1{,}380649\times 10^{-23})\times 293.
Faço a multiplicação aproximada:
k_{B}T\approx 1{,}38065\times 10^{-23}\times 293 \approx 4{,}05\times 10^{-21},
4m k_{B}T \approx 4\times 4{,}8\times 10^{-26}\times 4{,}05\times 10^{-21} \approx 7{,}77\times 10^{-46}.
  • Raiz:
\sqrt{4m k_{B}T}\approx \sqrt{7{,}77\times 10^{-46}}\approx 2{,}79\times 10^{-23}.
  • Finalmente:
f\approx \frac{9{,}09\times 10^{5}}{2{,}79\times 10^{-23}} \approx 3{,}26\times 10^{28}\\ \mathrm{s^{-1}}.
Interpretação: cerca de 3\times 10^{28} colisões por segundo de moléculas de ar numa parede de 3\\ \mathrm{m}\times 3\\ \mathrm{m}. Lembre que essa é uma estimativa de ordem de grandeza (a aproximação nos passos anteriores dá um valor bom dentro de algumas dezenas de porcento).

Resposta

(a) \displaystyle f=\frac{\bar{v}_{x}}{2}\,\frac{P}{k_{B}T}\,\ell^{2}.
(b) \displaystyle f\approx\frac{P\ell^{2}}{\sqrt{4 m k_{B}T}}.
(c) \displaystyle f\approx 3{,}3\times 10^{28}\\ \mathrm{s^{-1}}.

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