Considere o sistema A X=B onde:
A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 a & -2 \\\\ 0 & -1 & 2 a \\\ a & 1 & 0 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 1 \\\\ 0 \end{array}\right] \text { e } X=\left[\begin{array}{l} x \\\ y \\\ z \end{array}\right]
a) ( 2,0 \mathrm{pt} ) Classifique o sistema de acordo com o valor de a.
\mathbf{R}-\operatorname{det}(A)=4 a^{3}-4 a
  1. Se a \neq 0, a \neq 1 e a \neq-1 temos unn sistema SPD.
  2. Se a=0 ou a=1 temos ums SI.
  3. Se a=-1 temos um sistema SPI.
    b) ( 1.0 pt ) Quais as condições sobre a para que o conjunto de vetores
\beta=\{(1,2 a,-2),(0,-1,2 a),(a, 1,0)\}
seja uma base do \mathbb{R}^{3}.
R- Se a \neq 0, a \neq 1 e a \neq-1 os vetores serão LI e portanto formam uma base.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear A X = B com
A = \begin{pmatrix} 1 & 2a & -2\\\\ 0 & -1 & 2a\\\ a & 1 & 0 \end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\quad X = \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}.
Precisamos (a) classificar o sistema em SPD (única solução), SI (sem solução) ou SPI (infinitas soluções) conforme a e (b) encontrar para quais a o conjunto
\beta=\{(1,2a,-2),(0,-1,2a),(a,1,0)\} é base de \mathbb{R}^3.

Passo 2

Calcular o determinante de A pelo desenvolvimento na primeira linha:
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}-1&2a\\\ 1&0\end{pmatrix} -2a\cdot\det\begin{pmatrix}0&2a\a&0\end{pmatrix} +(-2)\cdot\det\begin{pmatrix}0&-1\a&1\end{pmatrix}.
Cada menor vale
\det\begin{pmatrix}-1&2a\\\ 1&0\end{pmatrix}=-2a,\quad \det\begin{pmatrix}0&2a\a&0\end{pmatrix}=-2a^2,\quad \det\begin{pmatrix}0&-1\a&1\end{pmatrix}=a,
logo
\det(A) =1\cdot(-2a)-2a\cdot(-2a^2)-2\cdot a =-2a+4a^3-2a =4a^3-4a =4a(a-1)(a+1).

Passo 3

Se \det(A)\neq0, isto é a\neq0,1,-1, a matriz A é invertível e o sistema tem exatamente uma solução (SPD).

Passo 4

Quando a\in\{0,1,-1\} temos \det(A)=0 e o sistema é singular. Substituindo:
Para a=0 ou a=1 o sistema reduz-se a duas equações contraditórias (por exemplo as linhas 2 e 3 levam a -y=1 e y=0), logo não há solução (SI).
Para a=-1 as equações satisfazem -y-2z=1 em ambas as linhas, ficando um grau de liberdade e portanto infinitas soluções (SPI).

Passo 5

O conjunto \beta forma base de \mathbb{R}^3 se e somente se for linearmente independente, o que equivale a \det(A)\neq0. Logo é base quando
a\neq0,\quad a\neq1,\quad a\neq-1.

Resposta

(a) O sistema é
– SPD (única solução) quando a\neq0,1,-1.
– SI (sem solução) quando a=0 ou a=1.
– SPI (infinitas soluções) quando a=-1.
(b) \beta é base de \mathbb{R}^3 se, e somente se,
a\neq0,\quad a\neq1,\quad a\neq-1.

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