Verifique se a matriz A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\\\ 2 & -1 & 3 \\\\ 4 & 1 & 8\end{array}\right] é invertível. Em caso afirmativo, determine a sua inversa.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\\\ 2 & -1 & 3\\\\ 4 & 1 & 8 \end{pmatrix}
e pede para verificar se ela é invertível e, em caso afirmativo, calcular A^{-1}. Vamos usar o critério de invertibilidade via determinante e, se \det(A)\neq0, aplicar
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\mathrm{adj}(A),
onde \mathrm{adj}(A) é a matriz adjunta (transposta da matriz de cofactores).

Passo 2

Calculamos \det(A) expandindo pela primeira linha:
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 3 \\[6pt] 1 & 8\end{pmatrix} -0\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 3 \\[3pt]4 & 8\end{pmatrix} +2\cdot\det\begin{pmatrix}2 & -1 \\[3pt]4 & 1\end{pmatrix}.
Agora os menores:
\det\!\begin{pmatrix}-1 & 3 \\\ 1 & 8\end{pmatrix} =(-1)\cdot8 - 3\cdot1 = -8 - 3 = -11, \quad \det\!\begin{pmatrix}2 & -1 \\\ 4 & 1\end{pmatrix} =2\cdot1 -(-1)\cdot4 = 2 + 4 = 6.
Logo
\det(A) = 1\cdot(-11) + 2\cdot6 = -11 + 12 = 1.
Como \det(A)=1\neq0, A é invertível.]

Passo 3

Calculamos a matriz de cofactores C = (C_{ij}) em que
C_{ij} = (-1)^{i+j}\,M_{ij}
e M_{ij} é o menor de ordem 2 obtido removendo a linha i e a coluna j. Os valores são:
M_{11}=-11, C_{11}=-11 M_{12}=4, C_{12}=-4 M_{13}=6, C_{13}=6 M_{21}=-2, C_{21}=2 M_{22}=0, C_{22}=0 M_{23}=1, C_{23}=-1 M_{31}=2, C_{31}=2 M_{32}=-1, C_{32}=1 M_{33}=-1, C_{33}=-1.

Passo 4

A matriz adjunta é a transposta da matriz de cofactores:
\mathrm{adj}(A) = C^T = \begin{pmatrix} C_{11} & C_{21} & C_{31}\\[3pt] C_{12} & C_{22} & C_{32}\\[3pt] C_{13} & C_{23} & C_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11 & 2 & 2\\[3pt] -4 & 0 & 1\\[3pt] 6 & -1 & -1 \end{pmatrix}.
Como \det(A)=1, segue
A^{-1} = \mathrm{adj}(A).
]

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} -11 & 2 & 2\\\\ -4 & 0 & 1\\\\ 6 & -1 & -1 \end{pmatrix}.

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