6 Determine o valor de m para que a equação x^{2}+4 x+y^{2}-6 y=m^{2}-29 representa uma circunferência.

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^{2}+4x + y^{2}-6y = m^{2}-29
e pede que isso represente uma circunferência. Vamos completar quadrados em x e y para escrever na forma padrão de centro e raio.

Passo 2

Complete o quadrado em x:
x^{2}+4x = (x+2)^{2} - 4,
e em y:
y^{2}-6y = (y-3)^{2} - 9.
Substituindo na equação original obtemos
(x+2)^{2} - 4 \;+\;(y-3)^{2} - 9 = m^{2} - 29.

Passo 3

Agrupe constantes e isole os quadrados perfeitos:
(x+2)^{2} + (y-3)^{2} - 13 = m^{2} - 29 \quad\Longrightarrow\quad (x+2)^{2} + (y-3)^{2} = m^{2} - 29 + 13 = m^{2} - 16.

Passo 4

Para isso ser uma circunferência real, o quadrado do raio deve ser positivo:
m^{2} - 16 > 0 \quad\Longrightarrow\quad m^{2} > 16 \quad\Longrightarrow\quad m < -4 \;\text{ou}\; m > 4.

Resposta

m\in(-\infty,-4)\cup(4,\infty)

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