Sejam \beta=\left\{-1+2 t^{2}, 2 t, t^{2}\right\} e \alpha=\left\{-2+t, 1+2 t,-t^{2}\right\} duas bases do \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}).
(1,5 pt) Determine [I]_{\alpha}^{\beta}, a matriz mudança de base da base \beta para a base \alpha.
Passo 1
Temos o espaço \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) com as bases \beta=\{-1+2t^{2},\,2t,\,t^{2}\} e \alpha=\{-2+t,\,1+2t,\,-t^{2}\}.
Para encontrar [I]_{\alpha}^{\beta}, basta expressar cada vetor de \beta como combinação linear dos vetores de \alpha. As coordenadas obtidas formam as colunas da matriz mudança de base.
Passo 2
Tomemos \beta_{1}=-1+2t^{2}\). Procuramos \(c_{1},c_{2},c_{3}\) tais que
\[c_{1}(-2+t)+c_{2}(1+2t)+c_{3}(-t^{2})=-1+0\,t+2t^{2}.