Sejam \beta=\left\{-1+2 t^{2}, 2 t, t^{2}\right\} e \alpha=\left\{-2+t, 1+2 t,-t^{2}\right\} duas bases do \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}).
(1,5 pt) Determine [I]_{\alpha}^{\beta}, a matriz mudança de base da base \beta para a base \alpha.

Passo 1

Temos o espaço \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) com as bases
\beta=\{-1+2t^{2},\,2t,\,t^{2}\} e \alpha=\{-2+t,\,1+2t,\,-t^{2}\}.
Para encontrar [I]_{\alpha}^{\beta}, basta expressar cada vetor de \beta como combinação linear dos vetores de \alpha. As coordenadas obtidas formam as colunas da matriz mudança de base.

Passo 2

Tomemos \beta_{1}=-1+2t^{2}\). Procuramos \(c_{1},c_{2},c_{3}\) tais que \[c_{1}(-2+t)+c_{2}(1+2t)+c_{3}(-t^{2})=-1+0\,t+2t^{2}.
Expandindo, obtemos
(-2c_{1}+c_{2}) + (c_{1}+2c_{2})t +(-c_{3})t^{2} = -1 + 0\,t + 2t^{2}.
Igualando coeficientes:
\begin{cases} -2c_{1}+c_{2}=-1,\\\ c_{1}+2c_{2}=0,\\\\ -c_{3}=2. \end{cases}
Da última equação vem c_{3}=-2\]. Das duas primeiras, \(c_{1}=-2c_{2} e
-2(-2c_{2})+c_{2}= -1 \;\Longrightarrow\; 5c_{2}=-1 \;\Longrightarrow\; c_{2}=-\tfrac{1}{5}, \;\; c_{1}=\tfrac{2}{5}.
Logo, a primeira coluna é \bigl[\tfrac{2}{5},\,-\tfrac{1}{5},\,-2\bigr]^{T}.

Passo 3

Agora \beta_{2}=2t\). Queremos \[c_{1}(-2+t)+c_{2}(1+2t)+c_{3}(-t^{2}) = 0 +2t +0\,t^{2}.
Isso leva ao sistema
\begin{cases} -2c_{1}+c_{2}=0,\\\ c_{1}+2c_{2}=2,\\\\ -c_{3}=0. \end{cases}
Da terceira equação c_{3}=0\]. Da primeira \(c_{2}=2c_{1}, e então
c_{1}+2(2c_{1})=2 \;\Longrightarrow\; 5c_{1}=2 \;\Longrightarrow\; c_{1}=\tfrac{2}{5}, \;\; c_{2}=\tfrac{4}{5}.
A segunda coluna é \bigl[\tfrac{2}{5},\,\tfrac{4}{5},\,0\bigr]^{T}.

Passo 4

Por fim \beta_{3}=t^{2}\). Buscamos \[c_{1}(-2+t)+c_{2}(1+2t)+c_{3}(-t^{2}) = 0 +0\,t +1\,t^{2},
que dá
\begin{cases} -2c_{1}+c_{2}=0,\\\ c_{1}+2c_{2}=0,\\\\ -c_{3}=1. \end{cases}
Temos c_{3}=-1\]. Das duas primeiras, \(c_{2}=2c_{1} e c_{1}+4c_{1}=0, logo c_{1}=0 e c_{2}=0. A terceira coluna é \bigl[0,\,0,\,-1\bigr]^{T}.

Resposta

[I]_{\alpha}^{\beta} = \begin{pmatrix} \tfrac{2}{5} & \tfrac{2}{5} & 0 \\\\ -\tfrac{1}{5} & \tfrac{4}{5} & 0 \\\\ -2 & 0 & -1 \end{pmatrix}

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