Considere o sistema
X^prime=(lll 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 ) X
Dê a solução geral do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações diferenciais representado por , onde é uma matriz . Nosso objetivo é encontrar a solução geral desse sistema. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente autovalores e autovetores. Esses conceitos vão nos ajudar a simplificar o sistema e achar a solução de forma mais fácil.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 . Os autovalores são valores de que satisfazem a equação característica:
Aqui, é a matriz identidade do mesmo tamanho que . Vamos calcular o determinante dessa matriz para achar os valores de .

Passo 3

Vamos calcular a matriz A - lambda I = 0 - lambda & 1 & 1 1 & 0 - lambda & 1 1 & 1 & 0 - lambda = -lambda & 1 & 1 1 & -lambda & 1 1 & 1 & -lambda :
det(A - lambda I) = -lambda -lambda & 1 1 & -lambda - 1 1 & 1 1 & -lambda + 1 1 & -lambda 1 & 1
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
-lambda & 1 1 & -lambda = lambda^2 - 1
Calculando cada determinante menor:
1 & 1 1 & -lambda = -lambda - 1
1 & -lambda 1 & 1 = 1 + lambda
det(A - lambda I) = -lambda (lambda^2 - 1) - 1 (-lambda - 1) + 1 (1 + lambda) = -lambda^3 + lambda + lambda + 1 + 1 + lambda = -lambda^3 + 3lambda + 2
Substituindo de volta:
-lambda^3 + 3lambda + 2 = 0 Rightarrow lambda^3 - 3lambda - 2 = 0
Então, a equação característica é:

Passo 4

Vamos resolver a equação 2^3 - 3(2) - 2 = 8 - 6 - 2 = 0 . Testando valores inteiros, vemos que lambda^3 - 3lambda - 2 = (lambda - 2)(lambda^2 + 2lambda + 1) satisfaz a equação:
lambda = -2 pm raiz4 - 42 = -22 = -1
Então, é uma raiz. Agora, vamos fatorar o polinômio:
Resolvendo :
Portanto, os autovalores são e .

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor.
Para -2 & 1 & 1 1 & -2 & 1 1 & 1 & -2 x y z = 0 0 0 :
Resolvemos 1 1 1:
1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 x y z = 0 0 0
Resolvendo o sistema, obtemos que v2 = 1 -1 0, v3 = 1 0 -1 . Então, um autovetor é .
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá a condição . Podemos escolher dois autovetores independentes, por exemplo:

Resposta

A solução geral do sistema é uma combinação linear dos autovetores multiplicados por exponenciais dos autovalores. Ficando assim:
X(t) = c1 e^2t 1 1 1 + c2 e^-t 1 -1 0 + c3 e^-t 1 0 -1
Onde são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

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