Beleza, vamos resolver esse Problema de Valor Inicial (PVI) que nos foi dado. A equação diferencial é:
x^2 y'' - 3x y' + 4y = 0
com as condições iniciais:
y(1) = 2 e y'(1) = 3
Esse tipo de equação é chamada de Equação de Euler-Cauchy, que é uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar as soluções gerais dessa equação e depois aplicar as condições iniciais para determinar as constantes específicas.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação característica da Equação de Euler-Cauchy. A forma geral dessa equação é:
x^2 y'' + a x y' + b y = 0
Para resolver, assumimos que a solução tem a forma y' = r x^r-1 . Vamos derivar essa expressão:
y'' = r (r - 1) x^r-2
x^2 cdot r (r - 1) x^r-2 - 3x cdot r x^r-1 + 4 x^r = 0
Substituindo r (r - 1) x^r - 3r x^r + 4 x^r = 0 , x^r [ r (r - 1) - 3r + 4 ] = 0 e r (r - 1) - 3r + 4 = 0 na equação original:
Simplificando:
Fatorando :
Como não é zero, temos a equação característica:
Passo 3
Vamos resolver a equação característica:
r (r - 1) - 3r + 4 = 0
r^2 - r - 3r + 4 = 0
r^2 - 4r + 4 = 0
Agora, resolvemos essa equação quadrática. O discriminante De é:
r = 42 = 2
Como o discriminante é zero, temos uma raiz real dupla:
Passo 4
Com uma raiz dupla y(x) = (C1 + C2 ln x) x^r = (C1 + C2 ln x) x^2 , a solução geral da equação de Euler-Cauchy é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.