Resolva o PVI
l x^2 y^prime prime-3 x y^prime+4 y=0 y(1)=2 y^prime(1)=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse Problema de Valor Inicial (PVI) que nos foi dado. A equação diferencial é:
x^2 y'' - 3x y' + 4y = 0
com as condições iniciais:
y(1) = 2 e y'(1) = 3
Esse tipo de equação é chamada de Equação de Euler-Cauchy, que é uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar as soluções gerais dessa equação e depois aplicar as condições iniciais para determinar as constantes específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação característica da Equação de Euler-Cauchy. A forma geral dessa equação é:
x^2 y'' + a x y' + b y = 0
Para resolver, assumimos que a solução tem a forma y' = r x^r-1 . Vamos derivar essa expressão:
y'' = r (r - 1) x^r-2
x^2 cdot r (r - 1) x^r-2 - 3x cdot r x^r-1 + 4 x^r = 0
Substituindo r (r - 1) x^r - 3r x^r + 4 x^r = 0 , x^r [ r (r - 1) - 3r + 4 ] = 0 e r (r - 1) - 3r + 4 = 0 na equação original:
Simplificando:
Fatorando :
Como não é zero, temos a equação característica:

Passo 3

Vamos resolver a equação característica:
r (r - 1) - 3r + 4 = 0
r^2 - r - 3r + 4 = 0
r^2 - 4r + 4 = 0
Agora, resolvemos essa equação quadrática. O discriminante De é:
r = 42 = 2
Como o discriminante é zero, temos uma raiz real dupla:

Passo 4

Com uma raiz dupla y(x) = (C1 + C2 ln x) x^r = (C1 + C2 ln x) x^2 , a solução geral da equação de Euler-Cauchy é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Agora, aplicamos a primeira condição inicial y(1) = (C1 + C2 ln 1) cdot 1^2 = C1 + C2 cdot 0 = C1 = 2 :
Então, já sabemos que .

Passo 6

Vamos agora derivar y(x) = (2 + C2 ln x) x^2 para aplicar a segunda condição inicial y'(x) = ddx[(2 + C2 ln x) x^2] = (2 + C2 ln x) cdot 2x + C2 cdot 1x cdot x^2 .
Primeiro, a derivada de y'(x) = 2x (2 + C2 ln x) + C2 x :
y'(x) = 4x + 2 C2 x ln x + C2 x
Usamos a regra do produto para derivar:
y'(x) = x (4 + C2 (1 + 2 ln x))
y'(1) = 1 cdot (4 + C2 (1 + 2 ln 1)) = 4 + C2 cdot 1 = 4 + C2 = 3
4 + C2 = 3 implies C2 = -1
Agora, aplicamos :
Resolvendo para :

Resposta

A solução do PVI é:
y(x) = (2 - ln x) x^2

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