Descreva em palavras como o gráfico da função
está relacionado como o gráfico de
para valores positivos de
.
Passo 1
O enunciado pede para compararmos o gráfico de g(x,y)=e^{−a(x²+y²)} com o gráfico de f (que é a mesma função com a=1). O conteúdo aqui é transformação de gráficos via escalonamento (homotetia) no plano e vamos precisar reescrever g em função de f para entender essa relação.
Passo 2
Definimos primeiro f(x,y)=e^{−(x²+y²)}. Observe que podemos escrever g(x,y) como:
Ora, a expressão acima é exatamente f aplicada ao ponto (\sqrt{a}x,\sqrt{a}y). Ou seja,
Passo 3
Isso significa que o gráfico de g é obtido a partir do gráfico de f por uma homotetia (escala) no plano xy, enviando cada ponto (x,y) em (\sqrt{a}x,\sqrt{a}y). Assim, se quisermos desenhar g, basta pegar o “sino” de f e comprimi-lo ou dilatá-lo.
Para valores de a>1 a escala \sqrt{a}>1 comprime o gráfico no plano (faz o sino ficar mais estreito e decair mais rápido). Para 0<a<1 a escala \sqrt{a}<1 dilata o gráfico (faz o sino ficar mais largo e decair mais devagar). A altura máxima em (0,0) continua igual a 1.
Para valores de a>1 a escala \sqrt{a}>1 comprime o gráfico no plano (faz o sino ficar mais estreito e decair mais rápido). Para 0<a<1 a escala \sqrt{a}<1 dilata o gráfico (faz o sino ficar mais largo e decair mais devagar). A altura máxima em (0,0) continua igual a 1.
Passo 4
Em resumo, o gráfico de g é o do sino gaussiano f comprimido quando a>1 ou esticado quando 0<a<1, mantendo sempre o pico de altura 1 no centro.
Resposta
O gráfico de g é uma homotetia do gráfico de f no plano xy: g(x,y)=f(√a x,√a y), ou seja, o sino gaussiano de f fica mais estreito (decai mais rápido) quando a>1 e mais largo (decai mais devagar) quando 0<a<1, mantendo sempre altura máxima 1 em (0,0).