(a) Mostre que r=2 é um autovalor de multiplicidade 3 da matriz de coeficientes A e que existe apenas um autovetor associado, a saber,
xi^(1)=(c 0 1 -1 )
(b) Usando a informação do item (a), escreva uma solução x^(1)(t) do sistema (1). Não existe outra solução da forma puramente exponencial x=xi e^r t.
(c) Para encontrar uma segunda solução, suponha que x=xi t e^2 t+eta e^2 t. Mostre que xi e eta satisfazem as equações
(A-2 I) xi=0, (A-2 I) eta=xi
Como xi já foi encontrado no item (a), resolva a segunda equação para eta. Despreze o múltiplo de xi^(1) que aparece em eta, já que nos leva, apenas, a um múltiplo da primeira solução x^(1)(t). Depois, escreva uma segunda solução x^(2)(t) do sistema (1).
(d) Para encontrar uma terceira solução, suponha que x=xi(t^2 / 2) e^2 t+eta t e^2 t+zeta e^2 t. Mostre que xi, eta e zeta satisfazem as equações
(A-2 I) xi=0, (A-2 I) eta=xi, (A-2 I) zeta=eta
As duas primeiras equações são as mesmas do item (c), logo, para resolver a equação para zeta despreze novamente o múltiplo de xi^(1) que aparece. Depois, escreva uma terceira solução x^(3)(t) do sistema (1).
e pede para mostrar que r=2 é autovalor de multiplicidade algébrica 3, mas com apenas um autovetor. Em seguida devemos construir duas soluções generalizadas usando cadeias de Jordan, obtendo três soluções linearmente independentes do sistema.]