Considere o sistema:
x^prime=A x=(ccc 1 & 1 & 1 2 & 1 & -1 -3 & 2 & 4 ) x
(a) Mostre que r=2 é um autovalor de multiplicidade 3 da matriz de coeficientes A e que existe apenas um autovetor associado, a saber,
xi^(1)=(c 0 1 -1 )
(b) Usando a informação do item (a), escreva uma solução x^(1)(t) do sistema (1). Não existe outra solução da forma puramente exponencial x=xi e^r t.
(c) Para encontrar uma segunda solução, suponha que x=xi t e^2 t+eta e^2 t. Mostre que xi e eta satisfazem as equações
(A-2 I) xi=0, (A-2 I) eta=xi
Como xi já foi encontrado no item (a), resolva a segunda equação para eta. Despreze o múltiplo de xi^(1) que aparece em eta, já que nos leva, apenas, a um múltiplo da primeira solução x^(1)(t). Depois, escreva uma segunda solução x^(2)(t) do sistema (1).
(d) Para encontrar uma terceira solução, suponha que x=xi(t^2 / 2) e^2 t+eta t e^2 t+zeta e^2 t. Mostre que xi, eta e zeta satisfazem as equações
(A-2 I) xi=0, (A-2 I) eta=xi, (A-2 I) zeta=eta
As duas primeiras equações são as mesmas do item (c), logo, para resolver a equação para zeta despreze novamente o múltiplo de xi^(1) que aparece. Depois, escreva uma terceira solução x^(3)(t) do sistema (1).

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear
x' = A,x, A = 1 & 1 & 1 [4pt] 2 & 1 & -1 [4pt] -3 & 2 & 4
e pede para mostrar que r=2 é autovalor de multiplicidade algébrica 3, mas com apenas um autovetor. Em seguida devemos construir duas soluções generalizadas usando cadeias de Jordan, obtendo três soluções linearmente independentes do sistema.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico
det(A-lambda I) = det1-lambda & 1 & 1 [4pt] 2 & 1-lambda & -1 [4pt] -3 & 2 & 4-lambda = -(lambda-2)^3
Logo lambda=2 é autovalor de multiplicidade algébrica 3.]

Passo 3

Para achar o espaço próprio resolvemos
(A-2I),xi=0, A-2I=-1 & 1 & 1 [4pt]2 & -1 & -1 [4pt]-3 & 2 & 2
Da primeira equação -xi1+xi2+xi3=0 segue xi1=xi2+xi3. Substituindo na segunda obtém-se xi2+xi3=0, ou xi3=-xi2. Assim
xi^(1)=01-1
é um gerador do espaço próprio, que é unidimensional.]

Passo 4

A solução puramente exponencial associada é
x^(1)(t) =xi^(1)e^2t =01-1e^2t
Não há outra solução da forma xie^2t porque o espaço próprio tem dimensão 1.

Passo 5

Para a segunda solução usamos o ansatz
x(t)=(xi^(1),t + eta),e^2t
Substituindo no sistema obtém-se o sistema em cadeia de Jordan
(A-2I),xi^(1)=0, (A-2I),eta=xi^(1)
Resolvendo (A-2I)eta=(0,1,-1)^T achamos, desprezando múltiplos de xi^(1),
eta=101

Passo 6

Portanto a segunda solução é
x^(2)(t) =l(t,xi^(1)+etar)e^2t =l(t01-1 +101r)e^2t

Passo 7

Para a terceira solução usamos
x(t)=l(tfrac12,xi^(1),t^2 +eta,t+zetar)e^2t,
que leva às equações
(A-2I),zeta=eta
além das duas primeiras já vistas. Resolvendo (A-2I)zeta=(1,0,1)^T e descartando múltiplos de xi^(1) obtemos
zeta=102

Passo 8

A terceira solução fica
x^(3)(t) =l(tfrac12,t^201-1 +t101 +102r)e^2t

Resposta

x^(1)(t)=01-1e^2t
x^(2)(t)=l(t01-1 +101r)e^2t
x^(3)(t)=l(tfrac12,t^201-1 +t101 +102r)e^2t

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