Encontre a solução geral do sistema de equações:
x^prime=(ccc1 & 1 & 1 2 & 1 & -1 0 & -1 & 1) x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear autônomo
x' = A,x,
onde
A = 1 & 1 & 1 2 & 1 & -1 0 & -1 & 1
Para resolver, vamos usar o método de autovalores e autovetores, e como aparece autovalor de multiplicidade algébrica 2 com apenas um autovetor, teremos de encontrar também um vetor generalizado e montar a solução com termos em t,e^lambda t.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico det(A - lambda I)=0.
Primeiro
det! 1-lambda & 1 & 1 2 & 1-lambda & -1 0 & -1 & 1-lambda = -lambda^3 +3lambda^2 -4 = 0
Fatorando, vemos que lambda=2 é raiz dupla e lambda=-1 é raiz simples. Logo
lambda1 = -1, lambda2 = 2 (mu< alg 2)

Passo 3

Para resolvemos :
Tomando , um autovetor é
associado a .

Passo 4

Para resolvemos :
Tomando , um autovetor é
Como a multiplicidade geométrica é 1 mas a algébrica é 2, precisamos de um vetor generalizado tal que .

Passo 5

Procuramos em
isto é,
Deste sistema segue e . Escolhendo obtemos

Passo 6

A base de soluções fundamentais é dada por
e^-tv1, e^2tv2, e^2tl(t,v2 + wr)
Logo a solução geral é
x(t) = C1,e^-t-342 + C2,e^2t0-11 + C3,e^2tgl(t0-11 +-10-1gr)

Resposta

x(t) = C1,e^-t-342 + C2,e^2t0-11 + C3,e^2tgl(t0-11 +-10-1gr),
onde C1,C2,C3 são constantes arbitrárias.

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