Discutir e resolver cada um deles pela eliminação de Gauss-Jordan. \left\{\begin{array}{c}3 \mathrm{x}_{1}+2 \mathrm{x}_{2}-\mathrm{x}_{3}=-15 \\\\ 5 \mathrm{x}_{1}+3 \mathrm{x}_{2}+2 \mathrm{x}_{3}=0 \\\\ 3 \mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}+3 \mathrm{x}_{3}=11 \\\\ 11 \mathrm{x}_{1}+7 \mathrm{x}_{2}=-30\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado nos dá um sistema com quatro equações e três incógnitas. Vou listar claramente o que é fornecido e o que se pede (peguei os coeficientes e termos independentes do enunciado):
Discutir (verificar existência/uniquidade) e resolver o sistema usando a eliminação de Gauss–Jordan.
Informações relevantes:
São 4 equações e 3 incógnitas \,x_{1},x_{2},x_{3}.
A quarta equação não tem o termo em x_{3} (coeficiente 0).
A solução será obtida transformando a matriz aumentada do sistema em forma reduzida por linhas (RREF) pela eliminação de Gauss–Jordan.]
Passo 2
Breve explicação didática do método (Gauss–Jordan) que será aplicado:
Representa-se o sistema pela matriz aumentada \left[A\mid b\right].
Usa-se operações elementares sobre linhas: troca de linhas, multiplicação de uma linha por escalar não nulo, e adição de múltiplos de uma linha a outra. Essas operações não alteram o conjunto de soluções.
O objetivo da eliminação de Gauss–Jordan é obter a forma reduzida por linhas (RREF), onde cada pivô é 1, cada coluna com pivô tem zeros em todas as outras posições, e quaisquer linhas todas nulas ficam embaixo. Assim lemos diretamente as soluções: se a RREF tiver uma linha inconsistente [0\\\ 0\\\ 0 \mid c] com c\neq0, o sistema é impossível; se houver colunas sem pivô, há infinitas soluções; se existir pivô em cada coluna de incógnita, há solução única.
Agora escrevemos a matriz aumentada inicial do sistema:
Eliminamos as entradas abaixo do pivô na coluna 1 usando R_2\leftarrow R_2-5R_1, R_3\leftarrow R_3-3R_1, R_4\leftarrow R_4-11R_1. Vou mostrar as contas linha a linha:
R_2-5R_1: segunda linha fica\bigl[5-5\cdot1,\;3-5\cdot\tfrac{2}{3},\;2-5\cdot(-\tfrac{1}{3}),\;0-5\cdot(-5)\bigr] = \bigl[0,\;-\tfrac{1}{3},\;\tfrac{11}{3},\;25\bigr].
R_3-3R_1: terceira linha fica\bigl[3-3\cdot1,\;1-3\cdot\tfrac{2}{3},\;3-3\cdot(-\tfrac{1}{3}),\;11-3\cdot(-5)\bigr] = \bigl[0,\;-1,\;4,\;26\bigr].
R_4-11R_1: quarta linha fica\bigl[11-11\cdot1,\;7-11\cdot\tfrac{2}{3},\;0-11\cdot(-\tfrac{1}{3}),\;-30-11\cdot(-5)\bigr] = \bigl[0,\;-\tfrac{1}{3},\;\tfrac{11}{3},\;25\bigr].
Observação: note que R_{2} e R_{4} ficaram iguais — isso indica redundância potencial entre as equações 2 e 4, mas ainda precisamos continuar para confirmar.]
Passo 5
Agora escolhemos o pivô na coluna 2. A linha R_{2} tem entrada -\tfrac{1}{3} nessa coluna; é conveniente normalizá-la para 1. Fazemos
Comentário didático: quando uma linha vira [0\\\ 0\\\ 0\mid 0] isso significa que uma das equações é combinação das anteriores (é redundante). Não indica inconsistência; apenas não fornece nova informação.]
Passo 7
Agora normalizamos o pivô da coluna 3 na linha R_{3}. Temos -7 como pivô; fazemos
Interpretação da RREF: cada coluna de incógnita tem um pivô (colunas 1, 2 e 3), portanto o sistema é compatível determinado (tem solução única). As equações finais lidas da RREF são:
Comentário final e incentivo: veja que a quarta equação inicial era redundante (acabou gerando a linha nula), por isso não criou inconsistência. Você conseguiu acompanhar? Ótimo — aplicando sempre essas etapas (normalizar pivô, zerar acima e abaixo, avançar para próxima coluna) você resolve qualquer sistema por Gauss–Jordan. Se quiser, eu repito a resolução com outras escolhas de pivô para treinar.]