Considere os sistemas abaixo:
Discutir e resolver cada um deles pela eliminação de Gauss-Jordan.
\left\{\begin{array}{c}3 \mathrm{x}_{1}+2 \mathrm{x}_{2}-\mathrm{x}_{3}=-15 \\\\ 5 \mathrm{x}_{1}+3 \mathrm{x}_{2}+2 \mathrm{x}_{3}=0 \\\\ 3 \mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}+3 \mathrm{x}_{3}=11 \\\\ 11 \mathrm{x}_{1}+7 \mathrm{x}_{2}=-30\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema com quatro equações e três incógnitas. Vou listar claramente o que é fornecido e o que se pede (peguei os coeficientes e termos independentes do enunciado):
As equações são:
\begin{cases} 3x_{1}+2x_{2}-x_{3}=-15,\\[4pt] 5x_{1}+3x_{2}+2x_{3}=0,\\[4pt] 3x_{1}+x_{2}+3x_{3}=11,\\[4pt] 11x_{1}+7x_{2}+0\cdot x_{3}=-30. \end{cases}
O que o enunciado pede:
  • Discutir (verificar existência/uniquidade) e resolver o sistema usando a eliminação de Gauss–Jordan.
Informações relevantes:
  • São 4 equações e 3 incógnitas \,x_{1},x_{2},x_{3}.
  • A quarta equação não tem o termo em x_{3} (coeficiente 0).
  • A solução será obtida transformando a matriz aumentada do sistema em forma reduzida por linhas (RREF) pela eliminação de Gauss–Jordan.]

Passo 2

Breve explicação didática do método (Gauss–Jordan) que será aplicado:
  • Representa-se o sistema pela matriz aumentada \left[A\mid b\right].
  • Usa-se operações elementares sobre linhas: troca de linhas, multiplicação de uma linha por escalar não nulo, e adição de múltiplos de uma linha a outra. Essas operações não alteram o conjunto de soluções.
  • O objetivo da eliminação de Gauss–Jordan é obter a forma reduzida por linhas (RREF), onde cada pivô é 1, cada coluna com pivô tem zeros em todas as outras posições, e quaisquer linhas todas nulas ficam embaixo. Assim lemos diretamente as soluções: se a RREF tiver uma linha inconsistente [0\\\ 0\\\ 0 \mid c] com c\neq0, o sistema é impossível; se houver colunas sem pivô, há infinitas soluções; se existir pivô em cada coluna de incógnita, há solução única.
Agora escrevemos a matriz aumentada inicial do sistema:
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & -1 & -15\\[4pt] 5 & 3 & 2 & 0\\[4pt] 3 & 1 & 3 & 11\\[4pt] 11 & 7 & 0 & -30 \end{array}\right]]

Passo 3

Primeiro passo prático: tornamos o primeiro elemento da primeira linha um pivô igual a 1 (normalizar a linha 1). Para isso dividimos R_{1} por 3:
R_{1}\leftarrow \frac{1}{3}R_{1}\quad\Rightarrow\quad R_{1} = \left[1\\ \tfrac{2}{3}\\\ -\tfrac{1}{3}\\ \mid\\\ -5\right].
Aplicando essa operação à matriz:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & \tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} & -5\\[4pt] 5 & 3 & 2 & 0\\[4pt] 3 & 1 & 3 & 11\\[4pt] 11 & 7 & 0 & -30 \end{array}\right]]

Passo 4

Eliminamos as entradas abaixo do pivô na coluna 1 usando R_2\leftarrow R_2-5R_1, R_3\leftarrow R_3-3R_1, R_4\leftarrow R_4-11R_1. Vou mostrar as contas linha a linha:
  • R_2-5R_1: segunda linha fica \bigl[5-5\cdot1,\;3-5\cdot\tfrac{2}{3},\;2-5\cdot(-\tfrac{1}{3}),\;0-5\cdot(-5)\bigr] = \bigl[0,\;-\tfrac{1}{3},\;\tfrac{11}{3},\;25\bigr].
  • R_3-3R_1: terceira linha fica \bigl[3-3\cdot1,\;1-3\cdot\tfrac{2}{3},\;3-3\cdot(-\tfrac{1}{3}),\;11-3\cdot(-5)\bigr] = \bigl[0,\;-1,\;4,\;26\bigr].
  • R_4-11R_1: quarta linha fica \bigl[11-11\cdot1,\;7-11\cdot\tfrac{2}{3},\;0-11\cdot(-\tfrac{1}{3}),\;-30-11\cdot(-5)\bigr] = \bigl[0,\;-\tfrac{1}{3},\;\tfrac{11}{3},\;25\bigr].
A matriz passa a ser
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & \tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} & -5\\[4pt] 0 & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{11}{3} & 25\\[4pt] 0 & -1 & 4 & 26\\[4pt] 0 & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{11}{3} & 25 \end{array}\right].
Observação: note que R_{2} e R_{4} ficaram iguais — isso indica redundância potencial entre as equações 2 e 4, mas ainda precisamos continuar para confirmar.]

Passo 5

Agora escolhemos o pivô na coluna 2. A linha R_{2} tem entrada -\tfrac{1}{3} nessa coluna; é conveniente normalizá-la para 1. Fazemos
R_{2}\leftarrow -3R_{2}.
Isso transforma R_{2} em
\bigl[0,\;1,\; -11,\; -75\bigr].
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & \tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} & -5\\[4pt] 0 & 1 & -11 & -75\\[4pt] 0 & -1 & 4 & 26\\[4pt] 0 & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{11}{3} & 25 \end{array}\right].]

Passo 6

Eliminamos todas as outras entradas da coluna 2 (acima e abaixo do pivô). As operações são:
  • Eliminar R_{1} na coluna 2: R_{1}\leftarrow R_{1}-\tfrac{2}{3}R_{2}.
    Cálculo para R_{1}:
    \begin{aligned} &\text{nova }x_3\text{-coef: } -\tfrac{1}{3} - \tfrac{2}{3}\cdot(-11) = -\tfrac{1}{3} + \tfrac{22}{3} = \tfrac{21}{3} = 7,\\[3pt] &\text{novo RHS: } -5 - \tfrac{2}{3}\cdot(-75) = -5 + 50 = 45. \end{aligned}
    Então R_{1}=[1\\\ 0\\\ 7\mid 45].
  • Eliminar R_{3}: R_{3}\leftarrow R_{3}+R_{2} (pois R_{3} tem -1 na coluna 2).
    R_{3} = [0,\;0,\;4+(-11)= -7,\;26+(-75)=-49].
  • Eliminar R_{4}: R_{4}\leftarrow R_{4} + \tfrac{1}{3}R_{2} (pois R_{4} tem -\tfrac{1}{3} na coluna 2).
    R_{4} = \bigl[0,\;0,\;\tfrac{11}{3} + \tfrac{1}{3}\cdot(-11),\;25 + \tfrac{1}{3}\cdot(-75)\bigr] = [0,\;0,\;0,\;0].
    Assim a quarta linha vira linha nula, confirmando redundância.
A matriz agora é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 7 & 45\\[4pt] 0 & 1 & -11 & -75\\[4pt] 0 & 0 & -7 & -49\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
Comentário didático: quando uma linha vira [0\\\ 0\\\ 0\mid 0] isso significa que uma das equações é combinação das anteriores (é redundante). Não indica inconsistência; apenas não fornece nova informação.]

Passo 7

Agora normalizamos o pivô da coluna 3 na linha R_{3}. Temos -7 como pivô; fazemos
R_{3}\leftarrow \frac{1}{-7}R_{3} = -\tfrac{1}{7}R_{3},
obtendo
R_{3} = [0,\\\ 0,\\\ 1\\ \mid\\\ 7].
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 7 & 45\\[4pt] 0 & 1 & -11 & -75\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 7\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].]

Passo 8

Agora, por Gauss–Jordan, eliminamos as entradas não nulas na coluna 3 acima do pivô para obter zeros e assim chegar à forma reduzida. Fazemos:
  • R_{1}\leftarrow R_{1}-7R_{3}. Cálculo do RHS: 45 - 7\cdot 7 = 45 -49 = -4. Assim R_{1}=[1\\\ 0\\\ 0\mid -4].
  • R_{2}\leftarrow R_{2}+11R_{3} (pois R_{2} tem -11 na coluna 3). Cálculo do RHS: -75 + 11\cdot 7 = -75 +77 = 2. Assim R_{2}=[0\\\ 1\\\ 0\mid 2].
A linha R_{3} permanece [0\\\ 0\\\ 1\mid 7]. A linha R_{4} é nula.
A matriz em forma reduzida (RREF) é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & -4\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 7\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].]

Passo 9

Interpretação da RREF: cada coluna de incógnita tem um pivô (colunas 1, 2 e 3), portanto o sistema é compatível determinado (tem solução única). As equações finais lidas da RREF são:
\begin{aligned} x_{1} &= -4,\\[4pt] x_{2} &= 2,\\[4pt] x_{3} &= 7. \end{aligned}
Comentário final e incentivo: veja que a quarta equação inicial era redundante (acabou gerando a linha nula), por isso não criou inconsistência. Você conseguiu acompanhar? Ótimo — aplicando sempre essas etapas (normalizar pivô, zerar acima e abaixo, avançar para próxima coluna) você resolve qualquer sistema por Gauss–Jordan. Se quiser, eu repito a resolução com outras escolhas de pivô para treinar.]

Resposta

x_{1} = -4
x_{2} = 2
x_{3} = 7

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