Considere os sistemas abaixo:
Discutir e resolver cada um deles pela eliminação de Gauss-Jordan.
\left\{\begin{array}{c}4 x-8 y=12 \\\\ 3 x-6 y=9 \\\\ -2 x+4 y=-6\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com duas incógnitas x e y:
\begin{cases} 4x-8y=12\\[4pt] 3x-6y=9\\[4pt] -2x+4y=-6 \end{cases}
O que se pede: discutir (isto é, dizer se o sistema é impossível, determinado ou indeterminado) e resolver o sistema usando eliminação de Gauss–Jordan.]

Passo 2

O método de Gauss–Jordan trabalha com a matriz aumentada do sistema e aplica operações elementares de linha até obter a forma reduzida por linhas (RREF), onde fica fácil ler as soluções. As operações elementares permitidas são:
  • trocar duas linhas;
  • multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
  • adicionar a uma linha um múltiplo escalar de outra linha.
Construo a matriz aumentada (colunas correspondem a x, y e o termo independente):
\left[\begin{array}{cc|c} 4 & -8 & 12\\[4pt] 3 & -6 & 9\\[4pt] -2 & 4 & -6 \end{array}\right]]

Passo 3

Primeiro objetivo: obter um pivô (um 1 líder) na primeira linha, primeira coluna. Faço a operação \;R_1\leftarrow \dfrac{1}{4}R_1\;. Isso significa dividir toda a primeira linha por 4. Resultado:
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & -2 & 3\\[4pt] 3 & -6 & 9\\[4pt] -2 & 4 & -6 \end{array}\right]
Expliquei: agora a primeira linha corresponde à equação 1\cdot x + (-2)\cdot y = 3, isto é, x-2y=3.]

Passo 4

Em Gauss–Jordan eliminamos os coeficientes nas outras linhas na coluna do pivô usando a linha com o pivô. Faço:
R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1 \qquad\text{e}\qquad R_3 \leftarrow R_3 + 2R_1.
Calculemos term por term:
Para R_2:
3-3\cdot1=0,\quad -6-3\cdot(-2)=-6+6=0,\quad 9-3\cdot3=9-9=0.
Para R_3:
-2+2\cdot1=0,\quad 4+2\cdot(-2)=4-4=0,\quad -6+2\cdot3=-6+6=0.
A matriz fica:
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & -2 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{array}\right]]

Passo 5

A matriz já está na forma reduzida por linhas (RREF): há um pivô (1) na coluna de x e linhas zeros abaixo. Não apareceu nenhuma linha do tipo 0\\\ 0\\ |\\ c com c\neq0, logo o sistema é consistente (tem solução). Como há menos pivôs do que incógnitas (apenas pivô para x, mas não para y), o sistema tem infinitas soluções — uma família de soluções com um parâmetro livre.

Passo 6

Interpretando a primeira linha da matriz RREF: ela representa a equação
x-2y=3.
A segunda e terceira linhas são 0=0 (não trazem restrição adicional). Tomamos y como parâmetro livre; seja y=t, com t\in\mathbb{R}. Então
x=2y+3=2t+3.
Em forma vetorial, a solução é
(x,y)=(3,0)+t(2,1),\qquad t\in\mathbb{R}.
Um exemplo numérico: para t=0 obtém-se (x,y)=(3,0); para t=1 obtém-se (x,y)=(5,1), e assim por diante.

Resposta

\text{Infinitas soluções: }(x,y)=(2t+3,\;t),\\ t\in\mathbb{R}.çõ

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