O que se pede: discutir (isto é, dizer se o sistema é impossível, determinado ou indeterminado) e resolver o sistema usando eliminação de Gauss–Jordan.]
Passo 2
O método de Gauss–Jordan trabalha com a matriz aumentada do sistema e aplica operações elementares de linha até obter a forma reduzida por linhas (RREF), onde fica fácil ler as soluções. As operações elementares permitidas são:
trocar duas linhas;
multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
adicionar a uma linha um múltiplo escalar de outra linha.
Construo a matriz aumentada (colunas correspondem a x, y e o termo independente):
Primeiro objetivo: obter um pivô (um 1 líder) na primeira linha, primeira coluna. Faço a operação \;R_1\leftarrow \dfrac{1}{4}R_1\;. Isso significa dividir toda a primeira linha por 4. Resultado:
A matriz já está na forma reduzida por linhas (RREF): há um pivô (1) na coluna de x e linhas zeros abaixo. Não apareceu nenhuma linha do tipo 0\\\ 0\\ |\\ c com c\neq0, logo o sistema é consistente (tem solução). Como há menos pivôs do que incógnitas (apenas pivô para x, mas não para y), o sistema tem infinitas soluções — uma família de soluções com um parâmetro livre.
Passo 6
Interpretando a primeira linha da matriz RREF: ela representa a equação
x-2y=3.
A segunda e terceira linhas são 0=0 (não trazem restrição adicional). Tomamos y como parâmetro livre; seja y=t, com t\in\mathbb{R}. Então
x=2y+3=2t+3.
Em forma vetorial, a solução é
(x,y)=(3,0)+t(2,1),\qquad t\in\mathbb{R}.
Um exemplo numérico: para t=0 obtém-se (x,y)=(3,0); para t=1 obtém-se (x,y)=(5,1), e assim por diante.