Considere os sistemas abaixo:
Discutir e resolver cada um deles pela eliminação de Gauss-Jordan.
\left\{\begin{array}{c}2 \mathrm{x}+2 \mathrm{y}+2 \mathrm{z}=0 \\\\ -2 \mathrm{x}+5 \mathrm{y}+2 \mathrm{z}=0 \\\\ -7 \mathrm{x}+7 \mathrm{y}+\mathrm{z}=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear homogêneo com três incógnitas x,y,z\) e pede para discuti-lo e resolvê-lo usando eliminação de Gauss–Jordan. As equações são: \[\begin{cases} 2x+2y+2z=0,\\[4pt] -2x+5y+2z=0,\\[4pt] -7x+7y+z=0.
Informações relevantes fornecidas:
  • É um sistema homogêneo (termos independentes iguais a (0]).
  • Há três equações e três incógnitas.
  • O objetivo é usar a eliminação de Gauss–Jordan (ou seja, reduzir a matriz aumentada até a forma reduzida por linhas).]

Passo 2

Breve explicação do método Gauss–Jordan (passo a passo conceitual):
  • Representa-se o sistema pela matriz aumentada e aplica-se apenas três tipos de operações elementares nas linhas: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo, somar a múltiplos de uma linha a outra. Essas operações não mudam o conjunto de soluções.
  • O objetivo é obter a forma escalonada reduzida por linhas (RREF), onde cada pivô é 1, cada pivô é o único elemento não nulo na sua coluna, e linhas nulas (se existirem) ficam por último.
  • Em sistemas homogêneos, sempre existe a solução trivial x=y=z=0. Se a RREF revelar variáveis livres, haverá infinitas soluções parametrizadas.
Agora vamos aplicar isso ao sistema dado, começando pela matriz aumentada.

Passo 3

Montar a matriz aumentada do sistema:
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 2 & 2 & 0\\[4pt] -2 & 5 & 2 & 0\\[4pt] -7 & 7 & 1 & 0 \end{array}\right]
Primeiro objetivo: obter um 1 no pivô da primeira coluna. Para isso, dividimos a primeira linha por 2:
R_1 \leftarrow \tfrac{1}{2}R_1 \quad\Longrightarrow\quad \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] -2 & 5 & 2 & 0\\[4pt] -7 & 7 & 1 & 0 \end{array}\right]]

Passo 4

Eliminar as entradas abaixo do pivô (coluna 1):
  • Para zerar o elemento em R_2 (que é -2): R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1.
  • Para zerar o elemento em R_3 (que é -7): R_3 \leftarrow R_3 + 7R_1.
Aplicando essas operações:
R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1:\quad -2 + 2\cdot1 = 0,\quad 5 + 2\cdot1 = 7,\quad 2 + 2\cdot1 = 4
R_3 \leftarrow R_3 + 7R_1:\quad -7 + 7\cdot1 = 0,\quad 7 + 7\cdot1 = 14,\quad 1 + 7\cdot1 = 8
A matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 7 & 4 & 0\\[4pt] 0 & 14 & 8 & 0 \end{array}\right]]

Passo 5

Agora escolhemos o pivô na segunda linha, segunda coluna. Tornamos esse pivô igual a 1 dividindo a segunda linha por 7:
R_2 \leftarrow \tfrac{1}{7}R_2 \quad\Longrightarrow\quad \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{4}{7} & 0\\[4pt] 0 & 14 & 8 & 0 \end{array}\right]]

Passo 6

Eliminar as entradas na coluna do pivô (segunda coluna), tanto acima quanto abaixo:
  • Para zerar a entrada em R_1 (que é 1): R_1 \leftarrow R_1 - R_2.
  • Para zerar a entrada em R_3 (que é 14): R_3 \leftarrow R_3 - 14R_2.
Calculemos:
R_1 - R_2:\quad 1 - 0 = 1,\quad 1 - 1 = 0,\quad 1 - \tfrac{4}{7} = \tfrac{3}{7}
R_3 - 14R_2:\quad 0 - 14\cdot0 = 0,\quad 14 - 14\cdot1 = 0,\quad 8 - 14\cdot\tfrac{4}{7} = 8 - 8 = 0
A matriz em forma reduzida por linhas fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \tfrac{3}{7} & 0\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{4}{7} & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]]

Passo 7

Interpretar a RREF como sistema de equações. A matriz corresponde a:
\begin{cases} x + \tfrac{3}{7}z = 0,\\[4pt] y + \tfrac{4}{7}z = 0,\\[4pt] 0 = 0. \end{cases}
Daqui:
x = -\tfrac{3}{7}z,\qquad y = -\tfrac{4}{7}z.
A variável z é livre (não tem pivô na sua coluna). Chamando o parâmetro livre de t e tomando z=t, obtemos a solução geral:
(x,y,z)=\left(-\tfrac{3}{7}t,\,-\tfrac{4}{7}t,\,t\right).
É comum tirar o fator 1/7 e escrever a família de soluções como múltiplo de um vetor inteiro. Tomando t=7s (ou definindo s=t/7), obtemos a forma simples:
(x,y,z)=s(-3,-4,7),\qquad s\in\mathbb{R}.
Comentário didático: por ser um sistema homogêneo com rank 2 (duas linhas independentes) e três incógnitas, o espaço solução tem dimensão 3-2=1; portanto há infinitas soluções que formam uma reta através da origem no espaço \mathbb{R}^3. Um gerador dessa reta é o vetor (-3,-4,7).]

Passo 8

Verificação rápida (para confiança): escolhendo s=1 (x,y,z)=(-3,-4,7). Substituindo na primeira equação:
2(-3)+2(-4)+2(7) = -6-8+14 =0.
As outras equações são análogas e também se anulam, confirmando a solução.

Resposta

(x,y,z)=s(-3,-4,7),\\ s\in\mathbb{R}

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