Discutir e resolver cada um deles pela eliminação de Gauss-Jordan. \left\{\begin{array}{c}2 \mathrm{x}+2 \mathrm{y}+2 \mathrm{z}=0 \\\\ -2 \mathrm{x}+5 \mathrm{y}+2 \mathrm{z}=0 \\\\ -7 \mathrm{x}+7 \mathrm{y}+\mathrm{z}=0\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear homogêneo com três incógnitas x,y,z\) e pede para discuti-lo e resolvê-lo usando eliminação de Gauss–Jordan. As equações são:
\[\begin{cases} 2x+2y+2z=0,\\[4pt] -2x+5y+2z=0,\\[4pt] -7x+7y+z=0.
Informações relevantes fornecidas:
É um sistema homogêneo (termos independentes iguais a (0]).
Há três equações e três incógnitas.
O objetivo é usar a eliminação de Gauss–Jordan (ou seja, reduzir a matriz aumentada até a forma reduzida por linhas).]
Passo 2
Breve explicação do método Gauss–Jordan (passo a passo conceitual):
Representa-se o sistema pela matriz aumentada e aplica-se apenas três tipos de operações elementares nas linhas: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo, somar a múltiplos de uma linha a outra. Essas operações não mudam o conjunto de soluções.
O objetivo é obter a forma escalonada reduzida por linhas (RREF), onde cada pivô é 1, cada pivô é o único elemento não nulo na sua coluna, e linhas nulas (se existirem) ficam por último.
Em sistemas homogêneos, sempre existe a solução trivial x=y=z=0. Se a RREF revelar variáveis livres, haverá infinitas soluções parametrizadas.
Agora vamos aplicar isso ao sistema dado, começando pela matriz aumentada.
É comum tirar o fator 1/7 e escrever a família de soluções como múltiplo de um vetor inteiro. Tomando t=7s (ou definindo s=t/7), obtemos a forma simples:
(x,y,z)=s(-3,-4,7),\qquad s\in\mathbb{R}.
Comentário didático: por ser um sistema homogêneo com rank 2 (duas linhas independentes) e três incógnitas, o espaço solução tem dimensão 3-2=1; portanto há infinitas soluções que formam uma reta através da origem no espaço \mathbb{R}^3. Um gerador dessa reta é o vetor (-3,-4,7).]
Passo 8
Verificação rápida (para confiança): escolhendo s=1 dá (x,y,z)=(-3,-4,7). Substituindo na primeira equação:
2(-3)+2(-4)+2(7) = -6-8+14 =0.
As outras equações são análogas e também se anulam, confirmando a solução.