Considere os sistemas abaixo e sobre estes analise os seguintes aspectos:
  • Forma da solução geral;
  • Esboço do retrato de fase;
  • Classificação do ponto crítico quanto a natureza e a estabilidade;
  • Comportamento (existência ou não do limite) das componentes das soluções fundamentais quando t +infty.
    (d) lu1^prime=3 u2, u2^prime=-2 u1

Passo 1

O sistema dado é u1'=3u2, u2'=-2u1. O conteúdo aqui é análise de sistemas lineares de ordem 2: vamos precisar montar a matriz A, calcular traço e determinante, achar os autovalores, então escrever a solução geral, esboçar o retrato de fase, classificar o ponto crítico e analisar o comportamento das soluções quando tto+infty.

Passo 2

Escrevendo em forma matricial, temos u'=Au com
A=0 & 3 -2 & 0

Passo 3

O traço é e o determinante é tr(A)=0+0=0. A equação característica é

Passo 4

cuja solução dá os autovalores
lambda=pm iraiz6

Resposta

A solução geral é
u1(t)=C1cos(raiz6,t)+C2sin(raiz6,t), u2(t)=-tfracraiz63,C1sin(raiz6,t)+tfracraiz63,C2cos(raiz6,t)
O retrato de fase consiste em órbitas fechadas (elipses centradas na origem), indicando um centro. O ponto crítico na origem é um centro linearmente estável (estabilidade neutra). As componentes das soluções são puramente oscilatórias e não convergem nem divergem quando tto+infty, ou seja, não têm limite.

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