Considere os sistemas abaixo e sobre estes analise os seguintes aspectos:
- Forma da solução geral;
- Esboço do retrato de fase;
- Classificação do ponto crítico quanto a natureza e a estabilidade;
- Comportamento (existência ou não do limite) das componentes das soluções fundamentais quando
.
(d)
(d)
Passo 1
O sistema dado é
,
. O conteúdo aqui é análise de sistemas lineares de ordem 2: vamos precisar montar a matriz
, calcular traço e determinante, achar os autovalores, então escrever a solução geral, esboçar o retrato de fase, classificar o ponto crítico e analisar o comportamento das soluções quando
.
Passo 2
Escrevendo em forma matricial, temos
com
Passo 3
O traço é e o determinante é
. A equação característica é
Passo 4
cuja solução dá os autovalores
Resposta
A solução geral é
O retrato de fase consiste em órbitas fechadas (elipses centradas na origem), indicando um centro. O ponto crítico na origem é um centro linearmente estável (estabilidade neutra). As componentes das soluções são puramente oscilatórias e não convergem nem divergem quando
, ou seja, não têm limite.